Решите неравенство 2x-1/x-3 методом интервала

Чтобы решить неравенство \(\frac{2x - 1}{x - 3} < 0\) методом интервала, следуем следующему алгоритму:

1. Найдём нули числителя и знаменателя:

   • Для числителя \(2x - 1 = 0\): \[ 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \]

   • Для знаменателя \(x - 3 = 0\): \[ x = 3 \]

2. Определим критические точки: Получаем \(x = \frac{1}{2}\) (нулевой числитель) и \(x = 3\) (нулевой знаменатель). Эти точки разбивают числовую ось на интервалы.

3. Интервалы: Критические точки делят ось на три интервала:

   • \((-\infty, \frac{1}{2})\)
   • \((\frac{1}{2}, 3)\)
   • \((3, +\infty)\)

4. Проверка знаков на интервалах: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство.

   • Для интервала \((-\infty, \frac{1}{2})\), например, \(x = 0\): \[ \frac{2(0) - 1}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} > 0 \]

   • Для интервала \((\frac{1}{2}, 3)\), например, \(x = 1\): \[ \frac{2(1) - 1}{1 - 3} = \frac{2 - 1}{1 - 3} = \frac{1}{-2} < 0 \]

   • Для интервала \((3, +\infty)\), например, \(x = 4\): \[ \frac{2(4) - 1}{4 - 3} = \frac{8 - 1}{1} = 7 > 0 \]

5. Запись результатов: Мы выяснили, что неравенство \(\frac{2x - 1}{x - 3} < 0\) выполняется для интервала \((\frac{1}{2}, 3)\).

6. Проверка границ интервала:

   • \(x = \frac{1}{2}\) делает числитель равным нулю (не входит в решение).
   • \(x = 3\) делает знаменатель равным нулю (тоже не входит в решение).

Таким образом, ответом является: \[ x \in \left(\frac{1}{2}, 3\right) \]