Решите неравенство 2x-1/x-3>_0 с методом интервала

Для решения неравенства \( \frac{2x - 1}{x - 3} \geq 0 \) с методом интервалов, следуйте следующим шагам:

1. Находим нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: \( 2x - 1 = 0 \) \(\Rightarrow x = \frac{1}{2}\)
   • Знаменатель: \( x - 3 = 0 \) \(\Rightarrow x = 3\)

   Это дает нам точки, в которых дробь равна нулю или не определена: \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = 3 \).

2. Рисуем числовую прямую и отмечаем найденные точки:

   • Разбиваем числовую прямую на интервалы: \( (-\infty, \frac{1}{2}) \), \( (\frac{1}{2}, 3) \), \( (3, +\infty) \).

3. Выбираем тестовые точки в каждом интервале для определения знака выражения:

   • Для интервала \( (-\infty, \frac{1}{2}) \), выбираем \( x = 0 \): \[ \frac{2(0) - 1}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} > 0 \]
   • Для интервала \( (\frac{1}{2}, 3) \), выбираем \( x = 1 \): \[ \frac{2(1) - 1}{1 - 3} = \frac{2 - 1}{1 - 3} = \frac{1}{-2} < 0 \]
   • Для интервала \( (3, +\infty) \), выбираем \( x = 4 \): \[ \frac{2(4) - 1}{4 - 3} = \frac{8 - 1}{1} = 7 > 0 \]

4. Составляем итог на основе знаков:

   • В интервале \( (-\infty, \frac{1}{2}) \): \( > 0 \)
   • В интервале \( (\frac{1}{2}, 3) \): \( < 0 \)
   • В интервале \( (3, +\infty) \): \( > 0 \)

5. Проверяем граничные точки:

   • В точке \( x = \frac{1}{2} \): \(\frac{2(\frac{1}{2}) - 1}{\frac{1}{2} - 3} = 0\) (входит в решение, так как неравенство включает \( \geq \)).
   • В точке \( x = 3 \): выражение не определено, следовательно, не входит в решение.

6. Собираем все решения: Таким образом, решение неравенства: \[ x \in \left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup (3, +\infty) \]

Это и есть наш ответ!