Площадь прямоугольного треугольника равна 800√3 . Один из острых углов равен 60°. Найдите длину гипотенузы.

Для решения данной задачи начнем с того, что площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты. Формула для площади треугольника выглядит так:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, \]

где \(a\) и \(b\) — длины катетов треугольника.

Площадь данного треугольника нам известна и равна \(800\sqrt{3}\), поэтому у нас есть:

\[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 800\sqrt{3}. \]

Это можно упростить до:

\[ a \cdot b = 1600\sqrt{3}. \]

Также мы знаем, что один из острых углов треугольника равен 60°. Это значит, что один из катетов можно выразить через другой с помощью тригонометрических функций. Пусть угол между катетом \(a\) и гипотенузой равен 60°, тогда мы можем записать:

\[ \frac{a}{c} = \cos(60°) \quad \text{и} \quad \frac{b}{c} = \sin(60°), \]

где \(c\) — длина гипотенузы. Значения \(\cos(60°)\) и \(\sin(60°)\) равны:

\[ \cos(60°) = \frac{1}{2}, \quad \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Следовательно, мы можем выразить катеты через гипотенузу:

\[ a = c \cdot \frac{1}{2}, \quad b = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Теперь подставим эти значения обратно в уравнение для площади:

\[ (c \cdot \frac{1}{2}) \cdot (c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1600\sqrt{3}. \]

Упрощаем:

\[ \frac{c^2 \sqrt{3}}{4} = 1600\sqrt{3}. \]

Теперь можем избавиться от \(\sqrt{3}\) с обеих сторон:

\[ \frac{c^2}{4} = 1600. \]

Умножаем обе стороны на 4:

\[ c^2 = 6400. \]

Теперь находим \(c\):

\[ c = \sqrt{6400} = 80. \]

Таким образом, длина гипотенузы равна \(80\).