Один катет прямоугольного треугольника на 7дм меньше другого, а его площадь равна 30дм² найдите катеты прямоугольного треугольника

Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, обозначим один катет как \( x \) дм. Тогда другой катет будет \( x - 7 \) дм, так как он на 7 дм меньше.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 \] Подставим наши переменные в формулу: \[ 30 = \frac{1}{2} \times x \times (x - 7) \] Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 60 = x \times (x - 7) \] Раскроем скобки: \[ 60 = x^2 - 7x \] Переносим все слагаемые в одну сторону уравнения: \[ x^2 - 7x - 60 = 0 \] Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Сначала найдем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 \] Теперь найдём корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} \] Так как \( \sqrt{289} = 17 \): \[ x = \frac{7 \pm 17}{2} \] Теперь вычислим оба значения \( x \):

1. \( x = \frac{24}{2} = 12 \)
2. \( x = \frac{-10}{2} = -5 \) (это значение нам не подходит, так как катет не может быть отрицательным)

Таким образом, \( x = 12 \) дм.

Теперь найдем второй катет: \[ x - 7 = 12 - 7 = 5 \text{ дм} \]

Итак, катеты прямоугольного треугольника равны \( 12 \) дм и \( 5 \) дм.