На тарелке лежат 37 пирожков: с вишней и с капустой. Известно, что среди любых 20 пирожков есть хотя бы один с вишней, а среди любых 19 есть хотя бы один с капустой. Сколько…

Обозначим количество пирожков с вишней как \( x \), а количество пирожков с капустой как \( y \). Тогда можно записать:

\[ x + y = 37 \]

Согласно условию задачи, среди любых 20 пирожков есть хотя бы один с вишней. Это означает, что если бы мы взяли 20 пирожков и все они были бы с капустой, то у нас было бы больше, чем 19 пирожков с капустой. Таким образом, не может быть 20 пирожков с капустой. Это говорит о том, что количество пирожков с капустой не может превышать 19:

\[ y \leq 19 \]

Согласно другому условию, среди любых 19 пирожков есть хотя бы один с капустой. Это означает, что если бы мы взяли 19 пирожков, и все они были бы с вишней, то у нас было бы меньше, чем 19 пирожков с вишней. Таким образом, не может быть 19 пирожков с вишней. Это говорит о том, что количество пирожков с вишней не может превышать 18:

\[ x \leq 18 \]

Теперь выражаем \( y \) через \( x \):

\[ y = 37 - x \]

Подставим ограничение на \( x \):

1. Если \( x \leq 18 \), то

\[ y = 37 - x \geq 37 - 18 = 19 \]

Но это противоречит условию \( y \leq 19 \).

Следовательно, \( x \) должно быть равно 18:

\[ x = 18 \]

Теперь найдем \( y \):

\[ y = 37 - 18 = 19 \]

Теперь проверим условия:

1. Среди любых 20 пирожков всегда будет хотя бы один с вишней, так как у нас 18 пирожков с вишней, и это условие выполняется.
2. Среди любых 19 пирожков всегда будет хотя бы один с капустой, так как у нас 19 пирожков с капустой.

Таким образом, количество пирожков с капустой составляет:

\[ \boxed{19} \]