На тарелке лежат 37 пирожков: с вишней и с капустой. Известно, что среди любых 20 пирожков есть хотя бы один с вишней, а среди любых 19 есть хотя бы один с капустой. Сколько…

Обозначим \( x \) — количество пирожков с вишней, а \( y \) — количество пирожков с капустой. Исходя из условия задачи, у нас есть два уравнения:

1. \( x + y = 37 \) (всего 37 пирожков)

2. Для любых 20 пирожков есть хотя бы один с вишней. Это означает, что если мы возьмём 19 пирожков с капустой, то среди оставшихся должен находиться по крайней мере один пирожок с вишней. Следовательно, \( y \leq 19 \).

3. Для любых 19 пирожков есть хотя бы один с капустой. Это означает, что если мы возьмём 18 пирожков с вишней, то среди оставшихся должен находиться по крайней мере один пирожок с капустой. Следовательно, \( x \leq 18 \).

Теперь у нас есть два неравенства:

• \( y \leq 19 \)
• \( x \leq 18 \)

Сначала подставим \( y = 37 - x \) в неравенство \( y \leq 19 \):

\[ 37 - x \leq 19. \]

Решая это неравенство, мы получаем:

\[ 37 - 19 \leq x \\ 18 \leq x. \]

Теперь у нас есть \( x \geq 18 \) и \( x \leq 18 \). Это означает, что

\[ x = 18. \]

Теперь подставим это значение обратно в уравнение \( x + y = 37 \):

\[ 18 + y = 37 \\ y = 37 - 18 = 19. \]

Таким образом, количество пирожков с капустой равно \( y = 19 \).

Ответ: 19 пирожков с капустой.