На тарелке лежат 37 пирожков: с вишней и с капустой. Известно, что среди любых 20 пирожков есть хотя бы один с вишней, а среди любых 19 есть хотя бы один с капустой. Сколько пирожков с капустой?

Обозначим количество пирожков с вишней как \( x \), а количество пирожков с капустой как \( y \). У нас есть два условия:

1. Общее количество пирожков: \[ x + y = 37 \]

2. Из любого набора из 20 пирожков есть хотя бы один с вишней. Это означает, что среди 20 пирожков не может быть 20 пирожков с капустой, следовательно, максимум 19 пирожков с капустой: \[ y \leq 19 \]

3. Из любого набора из 19 пирожков есть хотя бы один с капустой. Это значит, что среди 19 пирожков не может быть 19 пирожков с вишней, следовательно, максимум 18 пирожков с вишней: \[ x \leq 18 \]

Теперь воспользуемся этими неравенствами. Из первого уравнения можем выразить \( y \): \[ y = 37 - x \]

Подставим это выражение во второе неравенство: \[ 37 - x \leq 19 \] Решаем это неравенство: \[ 37 - 19 \leq x \\ x \geq 18 \]

Теперь подставим это значение в третье неравенство: \[ x \leq 18 \] Так как \( x \geq 18 \) и \( x \leq 18 \), то получается: \[ x = 18 \]

Теперь можем найти \( y \): \[ y = 37 - x = 37 - 18 = 19 \]

Таким образом, количество пирожков с капустой равно \( \boxed{19} \).