Найдите p и постройте в одной системе координат графики функций y=-x2-p и y=6x+10,если известно ,что они имеют ровно одну общую точку.Определите координаты этой точки.
Для решения данной задачи начнем с установки равенства двух функций, поскольку они имеют одну общую точку. Мы равняем функции:
\[ -x^2 - p = 6x + 10 \]
Переписываем это уравнение:
\[ -x^2 - 6x - (p + 10) = 0 \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение в стандартной форме:
\[ -x^2 - 6x - (p + 10) = 0 \]
Чтобы уравнение имело ровно одно решение, дискриминант должен быть равен нулю. Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае:
- \( a = -1 \)
- \( b = -6 \)
- \( c = -(p + 10) \)
Подставляем значения в формулу для дискриминанта:
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-(p + 10)) \]
Считаем дискриминант:
\[ D = 36 - 4 \cdot (-1) \cdot (-(p + 10)) \] \[ D = 36 - 4(p + 10) \] \[ D = 36 - 4p - 40 \] \[ D = -4p - 4 \]
Чтобы уравнение имело ровно одно решение, приравниваем дискриминант к нулю:
\[ -4p - 4 = 0 \]
Решаем это уравнение:
\[ -4p = 4 \] \[ p = -1 \]
Теперь, когда мы нашли значение \( p \), подставим его обратно в одно из уравнений, чтобы найти координаты общей точки. Например, подставим \( p = -1 \) в функцию \( y = -x^2 - p \):
\[ y = -x^2 - (-1) = -x^2 + 1 \]
Теперь найдем общую точку, подставив это значение в другое уравнение:
\[ -x^2 + 1 = 6x + 10 \]
Переписываем:
\[ -x^2 - 6x - 9 = 0 \]
При умножении на -1:
\[ x^2 + 6x + 9 = 0 \]
Это уравнение можно факторизовать:
\[ (x + 3)^2 = 0 \]
Таким образом, у нас есть решение:
\[ x = -3 \]
Теперь подставим это значение обратно в одно из уравнений, чтобы найти \( y \):
\[ y = -(-3)^2 + 1 = -9 + 1 = -8 \]
Таким образом, координаты общей точки:
\((-3, -8)\).
Теперь можно построить графики функций \( y = -x^2 + 1 \) и \( y = 6x + 10 \). Они должны пересекаться в точке \((-3, -8)\).
