Треугольнике ABC угол b прямой найдите тангенс А если известно что косинус А = 1 / √10

В треугольнике ABC угол B прямой, следовательно, угол A и угол C являются острыми и удовлетворяют условию: \( A + C = 90^\circ \). Поскольку угол A острый, мы можем использовать известные тригонометрические соотношения.

Дано, что косинус угла A равен \( \cos A = \frac{1}{\sqrt{10}} \). Поскольку угол A и угол C взаимодополняют друг друга (то есть \( C = 90^\circ - A \)), мы можем выразить синус угла A через косинус:

\[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1. \]

Подставим значение косинуса:

\[ \sin^2 A + \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = 1. \]

Это уравнение можно упростить:

\[ \sin^2 A + \frac{1}{10} = 1. \]

Выразим \(\sin^2 A\):

\[ \sin^2 A = 1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}. \]

Теперь найдем \(\sin A\):

\[ \sin A = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}. \]

Теперь мы можем найти тангенс угла A, который определяется как отношение синуса к косинусу:

\[ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{1}{\sqrt{10}}} = \frac{3}{1} = 3. \]

Таким образом, тангенс угла A равен 3:

\[ \tan A = 3. \]