Сократите дробь 7+√7/√2+√14

Для сокращения дроби \(\frac{7 + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{14}}\), давайте сначала упростим знаменатель.

Здесь \(\sqrt{14}\) можно представить как \(\sqrt{2 \cdot 7}\). Следовательно, \(\sqrt{14} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{7}\).

Теперь перепишем дробь:

\[ \frac{7 + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{14}} = \frac{7 + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{7}} = \frac{7 + \sqrt{7}}{\sqrt{2}(1 + \sqrt{7})} \]

Теперь можем умножить числитель и знаменатель на \((1 - \sqrt{7})\) для рационализации знаменателя:

\[ \frac{(7 + \sqrt{7})(1 - \sqrt{7})}{\sqrt{2}(1 + \sqrt{7})(1 - \sqrt{7})} \]

Находим числитель:

\[ (7 + \sqrt{7})(1 - \sqrt{7}) = 7 - 7\sqrt{7} + \sqrt{7} - 7 = -6 - 6\sqrt{7} \]

Теперь находим знаменатель:

\[ (1 + \sqrt{7})(1 - \sqrt{7}) = 1 - 7 = -6 \]

Таким образом, дробь:

\[ \frac{-6 - 6\sqrt{7}}{\sqrt{2} \cdot (-6)} = \frac{-6(1 + \sqrt{7})}{-6\sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{7}}{\sqrt{2}} \]

Теперь мы можем записать это в более удобной форме:

\[ \frac{1 + \sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \]

Итак, сокращенная дробь будет:

\[ \frac{1 + \sqrt{7}}{\sqrt{2}} \quad \text{или} \quad \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \]

Если нужно дальнейшее упрощение, можно умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\[ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{14}}{2} \]

Это финальный вид вашей дроби.