Пружину игрушечного пистолета сжимают на длину х и совершают выстрел в горизонтальном направлении; при этом шарик массой m вылетает со скоростью v. Жесткость пружины пистолета…

Чтобы решить задачу, давайте начнем с анализа заданных данных и определения, какие физические закономерности мы можем применить.

Дано:

• Длина сжатия пружины \(x\) (спрашивается, какова эта величина).
• Масса шарика \(m = 6,0\) г (или \(0,006\) кг).
• Скорость вылета шарика \(v = 4,0\) м/с.
• Жесткость пружины \(k = 250\) Н/м.
• Масса второго шарика в \(α = 2\) раза больше.

Решение:

Сначала определим величину, обозначенную как \(x\).

Когда пружина сжимается, накапливается потенциальная энергия, которая при последующем выстреле преобразуется в кинетическую энергию шарика. Потенциальная энергия сжатой пружины (E_p) определяется формулой:

\[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 \]

Кинетическая энергия (E_k) шарика, вылетающего из пистолета, задается формулой:

\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]

При выстреле вся потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика. Таким образом, можно записать уравнение:

\[ \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2 \]

Сокращая обе стороны на \(\frac{1}{2}\), получаем:

\[ k x^2 = m v^2 \]

Теперь выразим \(x\):

\[ x^2 = \frac{m v^2}{k} \]

Итак:

\[ x = \sqrt{\frac{m v^2}{k}} \]

Подставим значения:

\[ x = \sqrt{\frac{0,006 \cdot (4,0)^2}{250}} = \sqrt{\frac{0,006 \cdot 16}{250}} = \sqrt{\frac{0,096}{250}} = \sqrt{0,000384} \approx 0,0196 \text{ м} = 1,96 \text{ см} \]

Теперь давайте ответим на второй вопрос: во сколько раз изменится скорость вылета, если шарик заменить на другой, в \(α\) раз больший по массе.

Обозначим новую массу как \(m' = α m = 2 \cdot 6,0 \text{ г} = 12 \text{ г} = 0,012 \text{ кг}\).

При замене массой, потенциальная энергия пружины остается постоянной, а значит:

\[ \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m' v'^2 \]

эквивалентно записывается как:

\[ k x^2 = m' v'^2 \]

где \(v'\) - новая скорость вылета. Заметим, что \(m' = 2m\):

\[ k x^2 = 2m v'^2 \]

Давайте выразим \(v'\):

\[ v'^2 = \frac{k x^2}{2m} \]

Теперь сравним \(v'\) с \(v\):

\[ \frac{v'^2}{v^2} = \frac{\frac{k x^2}{2m}}{\frac{k x^2}{m}} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, можно увидеть, что:

\[ v' = v \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = v \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 4,0 \cdot 0,707 \approx 2,83 \text{ м/с} \]

Это означает, что новая скорость в \( \sqrt{2} \) раз меньше исходной скорости.

Ответ:

Длина сжатия пружины \(x \approx 1,96\) см. А скорость вылета при замене шарика изменится в \(\sqrt{2}\) раз, то есть уменьшится.