Определить область значений функции 9-6х-3х²

Чтобы определить область значений функции \( f(x) = 9 - 6x - 3x^2 \), начнем с того, что эта функция является квадратичной. Она имеет вид \( ax^2 + bx + c \), где \( a = -3 \), \( b = -6 \) и \( c = 9 \). Поскольку коэффициент главы (при \( x^2 \)) отрицателен, график функции представляет собой перевернутую параболу.

1. Найдём.vertex (вершину параболы): Формула для нахождения x-координаты вершины параболы задается как: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения \( a \) и \( b \): \[ x_v = -\frac{-6}{2 \cdot -3} = \frac{6}{-6} = -1 \]

2. Подставим \( x_v \) обратно в функцию: Найдем значение функции в этой точке: \[ f(-1) = 9 - 6(-1) - 3(-1)^2 = 9 + 6 - 3 = 12 \] Таким образом, вершина параболы — это точка \((-1, 12)\).

3. Определим область значений: Поскольку парабола открыта вниз и вершина наибольшая, ее максимальное значение равно 12. Функция будет принимать все значения вплоть до этого максимума, поэтому область значений функции: \[ y \leq 12 \]

Таким образом, область значений функции \( 9 - 6x - 3x^2 \) составляет: \[ (-\infty, 12] \] Если есть дополнительные вопросы или непонятные моменты, буду рад помочь!