Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоро-стью w=p/6 рад/с. Во сколько раз путь Ds, пройденный точкой за время t=4 с, больше модуля ее перемещения Dr ? Принять, что в момент начала отсчета времени радиус-вектор r, задающий положение точки на окружности, отно-сительно исходного положения был повернут на угол j0=p/3 рад.

Для решения задачи начнем с определения длины пути \(Ds\) и модуля перемещения \(Dr\) точки, движущейся по окружности с постоянной угловой скоростью.

1. Длина пути \(Ds\): Длина пути, пройденная точкой за время \(t\), рассчитывается по формуле: \[ Ds = r \cdot \Delta \varphi \] где \(r\) — радиус окружности, \(\Delta \varphi\) — угловое смещение за время \(t\): \[ \Delta \varphi = \omega \cdot t = \frac{\pi}{6} \cdot 4 = \frac{2\pi}{3} \text{ рад} \] Следовательно, \[ Ds = r \cdot \frac{2\pi}{3} \]

2. Модуль перемещения \(Dr\): Перемещение точки за время \(t\) — это длина хорды, проведенной между начальной и конечной точками. Угловое смещение равно \(\Delta \varphi = \frac{2\pi}{3}\), следовательно, перемещение \(Dr\) можно найти по формуле: \[ Dr = 2r \sin\left(\frac{\Delta \varphi}{2}\right) \] где \(\Delta \varphi / 2 = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\): \[ Dr = 2r \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3} \]

3. Соотношение \( \frac{Ds}{Dr} \): Теперь можно вычислить, во сколько раз путь \(Ds\) больше перемещения \(Dr\): \[ \frac{Ds}{Dr} = \frac{r \cdot \frac{2\pi}{3}}{r\sqrt{3}} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} \]

Теперь можно подставить числовые значения: Приблизительно \(\pi \approx 3.14\), следовательно: \[ \frac{Ds}{Dr} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{3 \cdot 1.732} = \frac{6.28}{5.196} \approx 1.21 \]

Таким образом, путь \(Ds\), пройденный точкой, примерно в 1.21 раза больше модуля ее перемещения \(Dr\).