112. Прямая, параллельная стороне АС тре- угольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, AC = 36 , MN = 27 Площадь треугольника АВС равна 96. Найдите площадь треугольника MBN.
Для решения задачи воспользуемся теорией подобия треугольников.
Дано, что прямая MN параллельна стороне AC треугольника ABC, что означает, что треугольники AMN и ABC подобны.
Из условия задачи знаем:
- AC = 36
- MN = 27
- Площадь треугольника ABC = 96.
Сначала найдем коэффициент подобия треугольников. Он равен отношению длин соответствующих сторон:
\[ k = \frac{MN}{AC} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}. \]
Площадь подобного треугольника пропорциональна квадрату коэффициента подобия, то есть:
\[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = k^2. \]
Подставим данные:
\[ \frac{S_{AMN}}{96} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}. \]
Теперь найдем площадь треугольника AMN:
\[ S_{AMN} = 96 \cdot \frac{9}{16} = 54. \]
Теперь, чтобы найти площадь треугольника MBN, воспользуемся тем, что площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AMN и MBN:
\[ S_{ABC} = S_{AMN} + S_{MBN}. \]
Подставим известные значения:
\[ 96 = 54 + S_{MBN}. \]
Отсюда находим площадь треугольника MBN:
\[ S_{MBN} = 96 - 54 = 42. \]
Таким образом, площадь треугольника MBN равна 42.
