Пусть х¹ и х²-корни уравнения 2х²-7х-3=0.Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются значения выражений: 1) х¹-2 и х²-2; 2)20+3 и 2х²+3; 3)1/х¹ и 1/х²; 4)х¹+1/х² и х²+1/х¹

Чтобы решить эту задачу, сначала найдём корни уравнения \(2x^2 - 7x - 3 = 0\). Мы можем использовать формулу для корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \(a = 2\), \(b = -7\), и \(c = -3\). Подставим эти значения в формулу:

1. Сначала находим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49 + 24 = 73. \]

2. Теперь найдем корни:

\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{73}}{4}, \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{73}}{4}. \]

Теперь, когда мы знаем корни \(x_1\) и \(x_2\), можем составить квадратное уравнение для каждого из предложенных случаев.

1. Корни \(x_1 - 2\) и \(x_2 - 2\).

Для этих корней можем использовать формулу:

\[ k(x) = (x - (x_1 - 2))(x - (x_2 - 2)). \] После раскрытия скобок получим:

\[ k(x) = (x - x_1 + 2)(x - x_2 + 2) = (x - (x_1 - 2))(x - (x_2 - 2)) = x^2 - (x_1 + x_2 - 4)x + (x_1 - 2)(x_2 - 2). \]

Согласно теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = \frac{7}{2}, \quad x_1 x_2 = \frac{-3}{2}. \]

Подставим данные значения:

\[ k(x) = x^2 - \left(\frac{7}{2} + 4\right)x + (x_1 x_2 + 2(x_1 + x_2) - 4) = x^2 - \frac{15}{2}x + \left(-\frac{3}{2} + 14 - 4\right). \]

Упрощаем:

\[ = x^2 - \frac{15}{2}x + \frac{5}{2}. \]

2. Корни \(20 + 3\) и \(2x_2 + 3\).

Простые значения: \(23\) и \(2x_2 + 3\). Корень \(x_2 = \frac{7 - \sqrt{73}}{4}\). Подставим его:

\[ 2x_2 + 3 = 2\left(\frac{7 - \sqrt{73}}{4}\right) + 3 = \frac{14 - \sqrt{73}}{2} + \frac{6}{2} = \frac{20 - \sqrt{73}}{2}. \]

Теперь составляем уравнение:

\[ k(x) = (x - 23) \left(x - \frac{20 - \sqrt{73}}{2}\right). \]

3. Корни \(\frac{1}{x_1}\) и \(\frac{1}{x_2}\).

Составляем уравнение:

\[ k(x) = \left(x - \frac{1}{x_1}\right)\left(x - \frac{1}{x_2}\right) = x^2 - \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right)x + \frac{1}{x_1 x_2}. \]

Согласно теореме Виета:

\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} = \frac{7/2}{-3/2} = -\frac{7}{3}. \] \[ \frac{1}{x_1 x_2} = -\frac{2}{3}. \]

Таким образом, уравнение:

\[ k(x) = x^2 + \frac{7}{3}x - \frac{2}{3}. \]

4. Корни \(x_1 + \frac{1}{x_2}\) и \(x_2 + \frac{1}{x_1}\).

Для этих корней:

\[ k(x) = (x - (x_1 + \frac{1}{x_2}))(x - (x_2 + \frac{1}{x_1})). \]

Если определим сумму и произведение этих корней как:

\[ S = x_1 + \frac{1}{x_2} + x_2 + \frac{1}{x_1} = x_1 + x_2 + \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right) = \frac{7}{2} - \frac{7}{3}. \]

Общая форма будет:

\[ P = (x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1}) = x_1x_2 + x_1\frac{1}{x_1} + x_2\frac{1}{x_2} + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}. \]

Таким образом, уравнение имеет вид:

\[ k(x) = x^2 - Sx + P. \]

Это будет достаточно для изучения. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!