В группе 11 мужчин и 9 женщин. Для психологического теста случайным образом выбирают трёх человек из этой группы. Найдите вероятность того, что: а) в число выбранных войдёт хотя бы одна женщина; б) в число выбранных войдёт хотя бы один мужчина.

Давайте решим эту задачу по шагам.

В группе всего 11 мужчин и 9 женщин, то есть всего 20 человек.

а) Чтобы найти вероятность того, что в числе выбранных будет хотя бы одна женщина, сначала найдем вероятность противоположного события - что в числе выбранных нет женщин, то есть есть только мужчины.

1. Сначала найдем общее количество способов выбрать 3 человека из 20: \[ C(20, 3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140. \]

2. Теперь найдем количество способов выбрать 3 человека только из мужчин (из 11 мужчин): \[ C(11, 3) = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165. \]

3. Вероятность того, что в числе выбранных нет женщин: \[ P(\text{нет женщин}) = \frac{C(11, 3)}{C(20, 3)} = \frac{165}{1140}. \]

4. Поскольку мы ищем вероятность того, что в числе выбранных будет хотя бы одна женщина, воспользуемся формулой: \[ P(\text{хотя бы одна женщина}) = 1 - P(\text{нет женщин}) = 1 - \frac{165}{1140} = \frac{1140 - 165}{1140} = \frac{975}{1140}. \]

5. Упростим дробь: \[ \frac{975}{1140} = \frac{65}{76}. \]

Таким образом, вероятность того, что в числе выбранных будет хотя бы одна женщина, равна \(\frac{65}{76}\).

б) Теперь найдем вероятность того, что в числе выбранных будет хотя бы один мужчина. Аналогично, сначала найдем вероятность противоположного события - что в числе выбранных нет мужчин, то есть есть только женщины.

1. Найдем количество способов выбрать 3 человека только из женщин (из 9 женщин): \[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84. \]

2. Вероятность того, что в числе выбранных нет мужчин: \[ P(\text{нет мужчин}) = \frac{C(9, 3)}{C(20, 3)} = \frac{84}{1140}. \]

3. Теперь найдем вероятность того, что в числе выбранных будет хотя бы один мужчина: \[ P(\text{хотя бы один мужчина}) = 1 - P(\text{нет мужчин}) = 1 - \frac{84}{1140} = \frac{1140 - 84}{1140} = \frac{1056}{1140}. \]

4. Упростим дробь: \[ \frac{1056}{1140} = \frac{88}{95}. \]

Таким образом, вероятность того, что в числе выбранных будет хотя бы один мужчина, равна \(\frac{88}{95}\).

Ответы: а) \(\frac{65}{76}\); б) \(\frac{88}{95}\).