Реши задачу: функция у=х2 2х-48 определена на отрезке [-5;7] определи область значений этой функции
Давайте решим задачу, связанную с функцией \( y = x^2 + 2x - 48 \), и найдем область значений этой функции на отрезке \([-5; 7]\).
Определим функцию: \( y = x^2 + 2x - 48 \) — это квадратичная функция. Чтобы найти область значений, нам нужно выяснить, какие значения принимает \( y \) на данном отрезке.
Найдем вершину параболы: Вершина параболы для функции вида \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Где \( a = 1 \), \( b = 2 \), следовательно: \[ x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \]
Проверка, попадает ли \( x_v \) в отрезок: Вершина \( x_v = -1 \) находится в интервале \([-5; 7]\).
Найдем значение функции в вершине: Теперь подставим \( x_v \) в функцию: \[ y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 48 = 1 - 2 - 48 = -49 \]
Найдём значения функции на границах отрезка: Теперь рассчитаем значение функции в концах отрезка:
- Для \( x = -5 \): \[ y(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 48 = 25 - 10 - 48 = -33 \]
- Для \( x = 7 \): \[ y(7) = (7)^2 + 2(7) - 48 = 49 + 14 - 48 = 15 \]
Соберём все найденные значения: Мы нашли три значения:
- \( y(-5) = -33 \)
- \( y(-1) = -49 \) (значение в вершине)
- \( y(7) = 15 \)
Определим область значений: Минимальное значение функции равно \(-49\) (в вершине), а максимальное значение равно \(15\) (при \( x = 7 \)). Таким образом, область значений функции на отрезке \([-5; 7]\) будет:
\[ [-49; 15] \]
Итак, область значений функции \( y = x^2 + 2x - 48 \) на отрезке \([-5; 7]\) равна \([-49; 15]\).
