Реши задачу: Функция y=x²-10x-10x-11 определена на отрезке [-3;12]. Определи наибольшее значение этой функции.
Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = x^2 - 10x - 10x - 11 \), сначала упростим её. Объединим подобные слагаемые:
\[ y = x^2 - 20x - 11. \]
Теперь у нас есть квадратичная функция. Чтобы найти её наименьшее или наибольшее значение на заданном отрезке \([-3; 12]\), сначала вычислим координаты вершины параболы, так как квадратичная функция имеет форму \( y = ax^2 + bx + c \). Вершина параболы находится по формуле:
\[ x = -\frac{b}{2a}. \]
В нашем случае, \( a = 1 \) и \( b = -20 \):
\[ x = -\frac{-20}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10. \]
Теперь мы нашли, что вершина функции находится в точке \( x = 10 \), которая находится в пределах нашего отрезка \([-3; 12]\).
Теперь высчитаем значение функции в вершине и на концах отрезка:
При \( x = -3 \): \[ y(-3) = (-3)^2 - 20(-3) - 11 = 9 + 60 - 11 = 58. \]
При \( x = 10 \): \[ y(10) = (10)^2 - 20(10) - 11 = 100 - 200 - 11 = -111. \]
При \( x = 12 \): \[ y(12) = (12)^2 - 20(12) - 11 = 144 - 240 - 11 = -107. \]
Теперь сравним все значения функции:
- \( y(-3) = 58 \)
- \( y(10) = -111 \)
- \( y(12) = -107 \)
Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке \([-3; 12]\) равно 58, и оно достигается в точке \( x = -3 \).
