Используя свойства и график функции y = x 2 + 2 x − 3 y=x 2 +2x−3, реши неравенство x 2 + 2 x − 3 < 0 x 2 +2x−3<0.
Давайте решим неравенство \( x^2 + 2x - 3 < 0 \) с помощью анализа функции и её графика.
- Найдем корни квадратичного уравнения. Для начала решим уравнение \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). Используем формулу корней для квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \).
Подставим значения:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
Это дает нам два корня:
\[ x_1 = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Таким образом, корни уравнения — это \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -3 \).
- Анализируем знаки функции. Теперь мы можем нарисовать числовую прямую и отметить на ней найденные корни:
-3 0 1
|--------|--------|------> x
- Проверка промежутков. Мы будем проверять знаки функции на интервалах:
Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \[ f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 \quad (> 0) \]
Для \( -3 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3 \quad (< 0) \]
Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ f(2) = 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \quad (> 0) \]
- Записываем решение неравенства. Мы ищем, когда \( f(x) < 0 \). Это происходит на интервале:
\[ -3 < x < 1 \]
Таким образом, окончательное решение неравенства \( x^2 + 2x - 3 < 0 \) будет:
\[ (-3, 1) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!
