Двум малярам Диме и Олегу поручила выкрасить фасад дома. Они разделили фасад на две равные части и одновременно приступили к работе. Дима использовал краскопульт, а Олег красил фасад вручную. Известно, что Дима красит краскопультом в три раза быстрее, чем Олег вручную. Через некоторое время си одновременно поменяли способ покраски: Дима стал красить вручную, а Оzer краскопультом. При этом производительность каждого изменилась в два раза: у Оnera увеличилась в два раза, а у Димы уменьшилась. Покраску своей части фасада они закончили одновременно. Сколько квадратных метров покрасил краскопультом Дима, если весь фасад дома составляет 300 м³?

Давайте начнем с анализа задачи, чтобы найти, сколько квадратных метров покрасил краскопульт Дима.

1. Определим скорости покраски: Пусть скорость покраски Олега вручную составляет \( v \) квадратных метров в час. Тогда скорость Димы краскопультом будет \( 3v \), так как он работает в три раза быстрее.

2. Обозначим площадь фасада: Всего площадь фасада дома составляет 300 м². Каждый маляр красит по 150 м², так как фасад разделён на две равные части.

3. Первый этап покраски: В начале Дима использует краскопульт, а Олег — краску вручную. Пусть они работали \( t_1 \) часов.

   • За это время Дима покрасит \( 3v \cdot t_1 \) м².
   • Олег покрасит \( v \cdot t_1 \) м².

   После времени \( t_1 \), суммарно они покрасили: \[ 3v \cdot t_1 + v \cdot t_1 = 4v \cdot t_1 \text{ м²} \]

4. Остаток для каждого: После первого этапа, количество покрашенной площади остаётся:

   • У Димы: \( 150 - 3v \cdot t_1 \)
   • У Олега: \( 150 - v \cdot t_1 \)

5. Второй этап покраски: Далее они меняются ролями. Дима начинает красить вручную (его скорость уменьшилась в 2 раза и теперь равна \( \frac{3v}{2} \)), Олег работает краскопультом (его скорость увеличилась в 2 раза и теперь равна \( 2v \)). Пусть они работают еще \( t_2 \) часов.

   • Дима покрасит \( \frac{3v}{2} \cdot t_2 \) м².
   • Олег покрасит \( 2v \cdot t_2 \) м².

   Они заканчивают одновременно, значит, после второго этапа мы можем записать: \[ \frac{3v}{2} \cdot t_2 = 150 - 3v \cdot t_1 \] \[ 2v \cdot t_2 = 150 - v \cdot t_1 \]

6. Система уравнений: Мы можем решить систему этих уравнений. Выразим \( t_1 \) из первого уравнения и подставим во второе.

   Из первого уравнения: \[ t_2 = \frac{2(150 - 3v \cdot t_1)}{3v} \]

   Подставим это выражение во второе уравнение: \[ 2v \cdot \frac{2(150 - 3v \cdot t_1)}{3v} = 150 - v \cdot t_1 \] Упростим уравнение: \[ \frac{4(150 - 3v \cdot t_1)}{3} = 150 - v \cdot t_1 \] Умножим обе части на 3: \[ 4(150 - 3v \cdot t_1) = 450 - 3v \cdot t_1 \] Раскроем скобки: \[ 600 - 12v \cdot t_1 = 450 - 3v \cdot t_1 \] Приведем подобные: \[ 600 - 450 = 12v \cdot t_1 - 3v \cdot t_1 \] Получаем: \[ 150 = 9v \cdot t_1 \] Отсюда: \[ t_1 = \frac{150}{9v} = \frac{50}{3v} \]

7. Находим \( t_2 \): Подставим \( t_1 \) обратно, чтобы найти \( t_2 \): \[ t_2 = \frac{2(150 - 3v \cdot \frac{50}{3v})}{3v} = \frac{2(150 - 50)}{3v} = \frac{200}{3v} \]

8. Количество покрашенного: Наконец, чтобы найти, сколько квадратных метров покрасил Дима краскопультом, умножим его скорость на время работы: \[ \text{Площадь, покрашенная Димой краскопультом} = 3v \cdot t_1 = 3v \cdot \frac{50}{3v} = 50 \text{ м²} \]

Таким образом, Дима покрасил краскопультом 50 квадратных метров.