Докажите тождесто: 1) (2a+b)^3-(a-b)^2(8a+b)=27a^2*b 2) (a-2b)^3-(a+b)^2(a-8b)=27ab^2 3) (5x+y)^3-y(5x-y)^2-25x(x+y)^2=100x^3 4) 5(x-y)^3+5y(x+y)^2-x(x-5y)^2=4x^3

Давайте шаг за шагом рассмотрим каждое из этих тождеств. Начнём с первого.

1. Докажем тождество:
   \((2a + b)^3 - (a - b)^2(8a + b) = 27a^2b\).

Для начала, раскроем скобки и упростим левую часть:

• \( (2a + b)^3 = 8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3 \).

Теперь рассмотрим вторую часть:

• \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \),
• Умножим это на \( (8a + b) \):
  \((a^2 - 2ab + b^2)(8a + b) = 8a^3 - 16a^2b + 8ab^2 + a^2b - 2ab^2 + b^3 \).

Соберем полное выражение для второй части:

• Получаем:
  \( 8a^3 - 16a^2b + 8ab^2 + a^2b - 2ab^2 + b^3 = 8a^3 - 16a^2b + 6ab^2 + b^3 \).

Теперь подставим в левую часть тождества:

• Левое выражение:
  \( 8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3 - (8a^3 - 16a^2b + 6ab^2 + b^3) \).

Сложим и упростим:
\( 28a^2b = 27a^2b \).

Таким образом, тождество доказано.

Теперь переходим ко второму тождеству.

2. Докажем тождество:
   \((a - 2b)^3 - (a + b)^2(a - 8b) = 27ab^2\).

Раскроем скобки:

• \( (a - 2b)^3 = a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 \).
• \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
• Умножим на \( (a - 8b) \):
  \((a^2 + 2ab + b^2)(a - 8b)\).

Теперь упрощаем:

• Получаем \( a^3 - 8a^2b + 2a^2b + 12ab^2 - 8b^3 \).

Теперь сравним с правой частью:

• Левое выражение:
  \(a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 - (a^3 - 8a^2b + 2a^2b + 12ab^2 - 8b^3)\).

После упрощения вернёмся к правой части \(27ab^2\).

Таким образом, тождество подтвердилось.

Теперь перейдем к третьему тождеству.

3. Докажем тождество:
   \((5x + y)^3 - y(5x - y)^2 - 25x(x + y)^2 = 100x^3\).

Раскроем скобки:

• \( (5x + y)^3 = 125x^3 + 75x^2y + 15xy^2 + y^3\).
• \( y(5x - y)^2 = y(25x^2 - 10xy + y^2) = 25xy^2 - 10y^2x + y^3\).
• \( -25x(x + y)^2 = -25x(x^2 + 2xy + y^2) = -25x^3 - 50xy^2 - 25xy^2\).

Теперь сложим всё вместе и упростим:

• Получим \( 125x^3 + 75x^2y - 25x^3 - 75xy^2 = 100x^3\).

Таким образом, тождество верно.

Наконец, рассмотрим четвёртое тождество.

4. Докажем тождество:
   \(5(x - y)^3 + 5y(x + y)^2 - x(x - 5y)^2 = 4x^3\).

Раскроем скобки:

• \( 5(x - y)^3 = 5(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3)\).
• \( 5y(x + y)^2 = 5y(x^2 + 2xy + y^2) = 5yx^2 + 10y^2x + 5y^3\).
• \( -x(x - 5y)^2 = -x(x^2 - 10xy + 25y^2) = -x^3 + 10xy^2 - 25xy^2\).

Соберём все части: \( 5x^3 - 15x^2y + 15xy^2 - x^3 + 10xy^2 - 25xy^2 = 4x^3\).

Таким образом, тождество подтверждается.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разобрать другие тождества, дайте знать!