Решить уравнение 2/x-2 - 10/x+3=50/x²+x-6 - 1
Для решения уравнения
\[ \frac{2}{x - 2} - \frac{10}{x + 3} = \frac{50}{x^2 + x - 6} - 1, \]
начнем с упрощения правой части уравнения. Сначала разложим знаменатель \(x^2 + x - 6\) на множители.
\[ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3). \]
Следовательно, можем переписать уравнение следующим образом:
\[ \frac{2}{x - 2} - \frac{10}{x + 3} = \frac{50}{(x - 2)(x + 3)} - 1. \]
Теперь выразим \(1\) с использованием общего знаменателя \((x - 2)(x + 3)\):
\[ 1 = \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{x^2 + x - 6}{(x - 2)(x + 3)}. \]
Теперь переписываем правую часть:
\[ \frac{50 - (x^2 + x - 6)}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{50 - x^2 - x + 6}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{-x^2 - x + 56}{(x - 2)(x + 3)}. \]
Теперь у нас есть следующее уравнение:
\[ \frac{2}{x - 2} - \frac{10}{x + 3} = \frac{-x^2 - x + 56}{(x - 2)(x + 3)}. \]
Умножим обе стороны на \((x - 2)(x + 3)\) для избавления от знаменателей:
\[ 2(x + 3) - 10(x - 2) = -x^2 - x + 56. \]
Раскроем скобки:
\[ 2x + 6 - 10x + 20 = -x^2 - x + 56. \]
Соберем все члены в одну сторону:
\[ -8x + 26 + x^2 + x - 56 = 0. \]
Упрощая, получаем:
\[ x^2 - 7x - 30 = 0. \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = -30\):
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30)}}{2 \cdot 1}, \] \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2}, \] \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{2}, \] \[ x = \frac{7 \pm 13}{2}. \]
Таким образом, получаем два корня:
- \(x = \frac{20}{2} = 10\),
- \(x = \frac{-6}{2} = -3\).
Теперь проверим, не равны ли корни значениям, от которых мы изначально отделяли (в знаменателях):
- При \(x = 10\): не равен 2 и -3.
- При \(x = -3\): равен -3 (что недопустимо).
Таким образом, единственный корень уравнения:
\[ x = 10. \]
