Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)³.

Чтобы найти все простые числа \( p \) и \( q \), удовлетворяющие равенству \( p + q = (p - q)^3 \), начнем с преобразования уравнения.

1. Запишем уравнение: \[ p + q = (p - q)^3 \]

2. Воспользуемся заменой \( x = p - q \), тогда \( p = x + q \). Подставим это в уравнение: \[ (x + q) + q = x^3 \] \[ x + 2q = x^3 \] Перепишем относительно \( q \): \[ 2q = x^3 - x \] \[ q = \frac{x^3 - x}{2} \]

Теперь нам нужно рассмотреть, при каких значениях \( x \) число \( q \) будет простым числом.

3. Обратимся к значению \( x \): \( x \) должно быть нечетным, чтобы \( x^3 - x \) было четным (тогда деление на 2 дает целое число), и к тому же, чтобы \( p \) и \( q \) были простыми.

4. Начнем проверять значения \( x \):

• Для \( x = 1 \): \[ q = \frac{1^3 - 1}{2} = 0 \quad (\text{не подходит}) \]

• Для \( x = 3 \): \[ q = \frac{3^3 - 3}{2} = \frac{27 - 3}{2} = \frac{24}{2} = 12 \quad (\text{не простое, не подходит}) \]

• Для \( x = 5 \): \[ q = \frac{5^3 - 5}{2} = \frac{125 - 5}{2} = \frac{120}{2} = 60 \quad (\text{не простое, не подходит}) \]

• Для \( x = 7 \): \[ q = \frac{7^3 - 7}{2} = \frac{343 - 7}{2} = \frac{336}{2} = 168 \quad (\text{не простое, не подходит}) \]

• Для \( x = 11 \): \[ q = \frac{11^3 - 11}{2} = \frac{1331 - 11}{2} = \frac{1320}{2} = 660 \quad (\text{не простое, не подходит}) \]

5. Пробуя другие значения \( x \), увидим, что все результаты для \( q \) либо четные, либо не являются простыми числами.

Так как для всех тестируемых значений \( x \) результат \( q \) не дает простое число, нет простых чисел \( p \) и \( q \), которые удовлетворяли бы уравнению \( p + q = (p - q)^3 \).

Таким образом, ответом на задачу является:

Нет простых чисел \( p \) и \( q \), удовлетворяющих данному уравнению.