Частота обращения первого спутника на круговой орбите вокруг планеты в 2 раза больше, чем у вто-рого, а радиус его орбиты в 4 раза меньше, чем у второго. Чему равно отношение периода обращения первого спутника к периоду обращения вто-рого?
Для решения задачи воспользуемся законами Keplerа, которые описывают движение спутников на круговой орбите.
Период обращения спутника \(T\) и радиус его орбиты \(R\) связаны соотношением: \[ T^2 \propto R^3 \] Это означает, что квадрат периода обращения спутника пропорционален кубу радиуса его орбиты.
Обозначим:
- \(T_1\) — период обращения первого спутника,
- \(T_2\) — период обращения второго спутника,
- \(R_1\) — радиус орбиты первого спутника,
- \(R_2\) — радиус орбиты второго спутника.
В условии задачи сказано, что радиус орбиты первого спутника в 4 раза меньше, чем у второго: \[ R_1 = \frac{R_2}{4} \]
Также сказано, что частота обращения первого спутника в 2 раза больше, чем у второго. Частота обращения \(f\) связана с периодом \(T\) следующим образом: \[ f = \frac{1}{T} \] Таким образом, если частота первого спутника в 2 раза больше частоты второго, это означает, что период первого спутника в 2 раза меньше периода второго: \[ T_1 = \frac{T_2}{2} \]
Теперь можем записать соотношения для периодов: \[ T_1^2 = \left(\frac{T_2}{2}\right)^2 = \frac{T_2^2}{4} \] Подставим радиусы в закон Кеплера: \[ T_1^2 \propto R_1^3 \quad \text{и} \quad T_2^2 \propto R_2^3 \]
Подставляя значение радиусов: \[ T_1^2 \propto \left(\frac{R_2}{4}\right)^3 = \frac{R_2^3}{64} \] \[ T_2^2 \propto R_2^3 \]
Теперь сравним: \[ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{(R_2/4)^3}{R_2^3} = \frac{R_2^3/64}{R_2^3} = \frac{1}{64} \] \[ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{1}{64} \]
Теперь найдем отношение периодов: \[ \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{T_1^2}{T_2^2}} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8} \]
Таким образом, отношение периода обращения первого спутника к периоду обращения второго: \[ \frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{8} \]
Ответ: \( \frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{8} \).
