Задание 1 (18 баллов). Учитель составляет контрольную работу, содержащую 5 задач, выбирая задачи случайным образом из сборника задач. Первая задача выбирается из главы I, вторая — из главы II и так далее. Сколько вариантов контрольной работы можно составить, если главы I и III содержат по 13 различных примеров задач, а остальные главы — по 10 примеров задач? Задание 2 (18 баллов). Для детского утренника требуется рассадить детей на стулья, стоящие вдоль стены. Количество стульев равно количеству детей. Всего в группе 5 мальчиков и 5 девочек, причём мальчики садятся на места с чётными номерами, а девочки — на места с нечётными номерами. Сколькими способами это можно сделать? Задание 3 (18 баллов). В выпускном альбоме с фотографиями будет 12 страниц. На страницах альбома требуется поместить четыре общие фотографии класса, причём на странице не может быть более одной общей фотографии. Сколькими способами можно расположить в альбоме общие фотографии? Задание 4 (20 баллов). В кармане рюкзака у Маши было 3 шоколадные конфеты и 4 желейные конфеты. Сколькими способами Маша может выбрать 2 шоколадные и 3 желейные конфеты? Задание 5 (26 баллов). Сколько разных буквосочетаний можно составить из всех букв слова «параллелограмм»?

Для решения каждого задания давайте разберем их по порядку:

Задание 1

Учитель составляет контрольную работу из 5 задач, выбирая по одной из каждой главы:

• Глава I (13 задач)
• Глава II (10 задач)
• Глава III (13 задач)
• Глава IV (10 задач)
• Глава V (10 задач)

Для каждой задачи мы можем выбрать определенное количество вариантов:

1. Из главы I: 13 вариантов
2. Из главы II: 10 вариантов
3. Из главы III: 13 вариантов
4. Из главы IV: 10 вариантов
5. Из главы V: 10 вариантов

Общее количество вариантов контрольной работы можно рассчитать, перемножив количество вариантов для каждой задачи: \[ N = 13 \times 10 \times 13 \times 10 \times 10 \] Теперь выполняем расчеты: \[ N = 13 \times 10^3 \times 13 = 169 \times 1000 = 169000 \] Таким образом, ответ: 169000.

Задание 2

Всего 10 детей (5 мальчиков и 5 девочек). Мальчики занимают четные места (2, 4, 6, 8, 10), а девочки — нечетные (1, 3, 5, 7, 9).

1. Мальчики могут занять 5 четных мест. Это можно сделать 5! способами.
2. Девочки могут занять 5 нечетных мест. Это также можно сделать 5! способами.

Общее количество способов рассадки: \[ N = 5! \times 5! \] Вычисляем: \[ 5! = 120 \Rightarrow N = 120 \times 120 = 14400 \] Таким образом, ответ: 14400.

Задание 3

Нужно разместить 4 фотографии на 12 страницах, так чтобы на одной странице не было больше одной фотографии.

1. Выбираем 4 страницы из 12 для размещения фотографий. Это можно сделать: \[ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = 495 \]
2. Далее, на выбранные страницы размещаем 4 фотографии. Это можно сделать 4! способами.

Общее количество способов: \[ N = C(12, 4) \times 4! = 495 \times 24 = 11880 \] Таким образом, ответ: 11880.

Задание 4

У Маши 3 шоколадные и 4 желейные конфеты. Она хочет выбрать 2 шоколадные и 3 желейные конфеты:

1. Для выбора 2 шоколадных конфет из 3: \[ C(3, 2) = 3 \]
2. Для выбора 3 желейных конфет из 4: \[ C(4, 3) = 4 \]

Общее количество способов: \[ N = C(3, 2) \times C(4, 3) = 3 \times 4 = 12 \] Таким образом, ответ: 12.

Задание 5

Слово "параллелограмм" состоит из 15 букв, где:

• 'п' - 1,
• 'а' - 3,
• 'р' - 2,
• 'л' - 3,
• 'е' - 1,
• 'о' - 1,
• 'г' - 1,
• 'м' - 1.

Общее количество различных буквосочетаний: \[ N = \frac{15!}{1! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} \]

Вычисляем: \[ 15! = 1307674368000, \] \[ 3! = 6, \quad 2! = 2, \quad 1! = 1, \] Итак, \[ N = \frac{1307674368000}{1 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{1307674368000}{72} = 18110684400 \] Таким образом, ответ: 18110684400.