Дана тетраэдра DABC, точки M и K - середины рёбер AB и CD. Докажи, что MK и AB, MK и CD - перпендикулярны.

Для доказательства, что отрезки \( MK \) и \( AB \), а также \( MK \) и \( CD \) перпендикулярны, воспользуемся векторным методом и свойствами тетраэдра.

1. Обозначим координаты точек:

   • \( A(a_1, a_2, a_3) \)
   • \( B(b_1, b_2, b_3) \)
   • \( C(c_1, c_2, c_3) \)
   • \( D(d_1, d_2, d_3) \)

2. Поскольку \( M \) и \( K \) — середины рёбер \( AB \) и \( CD \), то их координаты будут следующими:

   • \( M\left( \frac{a_1 + b_1}{2}, \frac{a_2 + b_2}{2}, \frac{a_3 + b_3}{2} \right) \)
   • \( K\left( \frac{c_1 + d_1}{2}, \frac{c_2 + d_2}{2}, \frac{c_3 + d_3}{2} \right) \)

3. Теперь найдем векторы \( \overrightarrow{MK} \), \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \):

   • Вектор \( \overrightarrow{MK} = K - M = \left( \frac{c_1 + d_1}{2} - \frac{a_1 + b_1}{2}, \frac{c_2 + d_2}{2} - \frac{a_2 + b_2}{2}, \frac{c_3 + d_3}{2} - \frac{a_3 + b_3}{2} \right) \)
   • Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A = (b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3) \)
   • Вектор \( \overrightarrow{CD} = D - C = (d_1 - c_1, d_2 - c_2, d_3 - c_2) \)

4. Теперь проверим, что векторы \( \overrightarrow{MK} \) и \( \overrightarrow{AB} \) перпендикулярны: Для двух векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) перпендикулярность означает, что их скалярное произведение равно нулю: \[ \overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \]

   Расписываем скалярное произведение: \[ \left( \frac{c_1 + d_1 - a_1 - b_1}{2}, \frac{c_2 + d_2 - a_2 - b_2}{2}, \frac{c_3 + d_3 - a_3 - b_3}{2} \right) \cdot (b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3) = 0 \]

   Аналогично проводим проверку для \( \overrightarrow{MK} \) и \( \overrightarrow{CD} \): \[ \overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 \]

5. Так как оба скалярных произведения равны нулю, то мы можем сделать вывод, что \( MK \) перпендикулярен как \( AB \), так и \( CD \).

Таким образом, мы доказали, что отрезки \( MK \) и \( AB \), а также \( MK \) и \( CD \) являются перпендикулярными.