Постройте график функции y=2x-4/x²-2x+2
Чтобы построить график функции \( y = \frac{2x - 4}{x^2 - 2x + 2} \), нужно выполнить несколько шагов.
Найдение области определения: Функция определена при всех значениях \( x \), для которых знаменатель не равен нулю. То есть необходимо решить уравнение \( x^2 - 2x + 2 = 0 \).
Дискриминант \( D \) этого уравнения: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \]
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней, и функция определена для всех \( x \).
Найдение асимптот: Для анализа поведения функции при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \) можно посмотреть на горизонтальные асимптоты. Так как степень числителя меньше степени знаменателя, горизонтальная асимптота будет равна \( y = 0 \).
Найдение нулей функции: Чтобы найти нули функции, надо решить уравнение \( 2x - 4 = 0 \): \[ 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \] Следовательно, \( y = 0 \) при \( x = 2 \).
Определение поведения функции в критических точках: Важные точки для анализа функции — это нули числителя и поведение при асимптотах. Также удобно найти значение функции в нескольких точках, например, \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( x = 3 \) и \( x = -1 \).
- Для \( x = 0 \): \[ y = \frac{2 \cdot 0 - 4}{0^2 - 2 \cdot 0 + 2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
- Для \( x = 1 \): \[ y = \frac{2 \cdot 1 - 4}{1^2 - 2 \cdot 1 + 2} = \frac{-2}{1} = -2 \]
- Для \( x = 3 \): \[ y = \frac{2 \cdot 3 - 4}{3^2 - 2 \cdot 3 + 2} = \frac{6 - 4}{9 - 6 + 2} = \frac{2}{5} \approx 0.4 \]
- Для \( x = -1 \): \[ y = \frac{2 \cdot (-1) - 4}{(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 2} = \frac{-2 - 4}{1 + 2 + 2} = \frac{-6}{5} = -1.2 \]
Построение графика: Нанеся на координатную сетку найденные точки и асимптоты, можно получить представление о графике функции. Постарайтесь отметить, что при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \) \( y \) приближается к 0, а в точке \( x = 2 \) график пересекает ось \( x \).
Таким образом, график функции будет представлять собой гиперболу с горизонтальной асимптотой на уровне \( y = 0 \).
