В базисе трехмерного линейного пространств заданы линейные операторы Ax= (x1+x2-x3; 4x2; x2+x3), Bx= (x1-x2; 2x1;x3). найдите координаты вектора (2А+ А×B)x в том же базисе.

Для нахождения координат вектора \((2A + A \times B)x\) в заданном базисе, сначала выразим операторы \(A\) и \(B\) в виде матриц, а затем найдем необходимые операции.

Операторы \(A\) и \(B\) задаются как:

\[ Ax = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 - x_3 \\ 4x_2 \\ x_2 + x_3 \end{pmatrix} \]

\[ Bx = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ 2x_1 \\ x_3 \end{pmatrix} \]

1. Составим матрицы для операторов \(A\) и \(B\).

Оператор \(A\) можно представить как матрицу \(A\) относительно стандартного базиса:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

Оператор \(B\) будет:

\[ B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

2. Найдем произведение \(A \times B\) (матрица для оператора \(A\) умножается на матрицу для оператора \(B\)):

Перемножим матрицы \(A\) и \(B\):

\[ A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Рассчитаем произведение поэлементно:

• Первый ряд:
  \[ \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0, & 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0, & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \end{pmatrix} \]

• Второй ряд:
  \[ \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 0 \cdot 0, & 0 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 0, & 0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

• Третий ряд:
  \[ \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0, & 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0, & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Итак, мы получаем:

\[ A \times B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 8 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

3. Теперь вычислим \(2A\):

\[ 2A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \]

4. Теперь найдем \(2A + A \times B\):

\[ 2A + A \times B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 8 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Сложим матрицы поэлементно:

• Первый ряд: \(2 + 3 , 2 + (-1), -2 + (-1) \Rightarrow \begin{pmatrix} 5 & 1 & -3 \end{pmatrix}\)
• Второй ряд: \(0 + 8 , 8 + 0 , 0 + 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 8 & 8 & 0 \end{pmatrix}\)
• Третий ряд: \(0 + 2 , 2 + 0 , 2 + 1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}\)

Таким образом:

\[ 2A + A \times B = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 8 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]

5. На выходе получаем итоговый вектор:

Для удобства обозначим результат как:

\[ (2A + A \times B)x = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 8 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]

Теперь мы можем подставить значения \(x_1, x_2, x_3\), чтобы получить конкретные координаты вектора в том же базисе.

Если есть дополнительные вопросы или нужно провести дальнейшие расчеты, не стесняйтесь спрашивать!