В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 18см и 24 см. Вычислите полную поверхность призмы, если ее объем равен 1380 см
Чтобы вычислить полную поверхность призмы, сначала нам нужно найти необходимые параметры, такие как площадь основания и высоту.
Площадь основания: Основание призмы – это прямоугольный треугольник с катетами 18 см и 24 см. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
где \( a \) и \( b \) – длины катетов. Подставляем значения:
\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = \frac{1}{2} \cdot 432 = 216 \, \text{см}^2 \]
Высота призмы: Объем призмы вычисляется по формуле:
\[ V = S_{осн} \cdot h \]
где \( V \) – объем, \( S_{осн} \) – площадь основания, и \( h \) – высота. Подставляем известные значения:
\[ 1380 = 216 \cdot h \]
Теперь решим это уравнение для \( h \):
\[ h = \frac{1380}{216} \approx 6.39 \, \text{см} \]
Полная поверхность призмы: Полная поверхность призмы определяется по формуле:
\[ S_{полная} = 2 \cdot S_{осн} + P_{бок} \cdot h \]
где \( P_{бок} \) – периметр основания призмы. Для прямоугольного треугольника периметр вычисляется как сумма всех его сторон:
Сначала найдём гипотенузу \( c \) с помощью теоремы Пифагора:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \, \text{см} \]
Теперь находим периметр:
\[ P_{бок} = 18 + 24 + 30 = 72 \, \text{см} \]
Теперь можем подставить все значения в формулу для полной поверхности:
\[ S_{полная} = 2 \cdot 216 + 72 \cdot 6.39 \]
Сначала вычислим каждую часть:
\[ 2 \cdot 216 = 432 \, \text{см}^2 \]
И боковую поверхность:
\[ 72 \cdot 6.39 \approx 463.68 \, \text{см}^2 \]
Теперь складываем:
\[ S_{полная} \approx 432 + 463.68 \approx 895.68 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, полная поверхность призмы составляет приблизительно 895.68 см².
