Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними - 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
Для решения задачи применим правило косинусов и формулу для нахождения площади треугольника.
- Нахождение третьей стороны:
Согласно правилу косинусов, третья сторона \( c \) треугольника может быть найдена по формуле:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
где:
- \( a = 6 \) см,
- \( b = 8 \) см,
- \( C = 60^\circ \).
Подставим значения:
\[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \] \[ c^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 36 + 64 - 48 \] \[ c^2 = 52 \] \[ c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21 \text{ см} \]
- Нахождение площади:
Площадь треугольника можно найти по формуле:
\[ S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(C) \]
Подставим значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \approx 20.78 \text{ см}^2 \]
Итак, третья сторона треугольника равна \( 2\sqrt{13} \) см (примерно 7.21 см), а площадь треугольника составляет \( 12\sqrt{3} \) см² (примерно 20.78 см²).
