Давайте рассмотрим указанные варианты ответов и определим, какие из них содержат правильные объяснения написания выделенных слов.
НИ У КАКОГО — НИ с определительным местоимением действительно пишется раздельно. Этот ответ правильный.
(дуб) МОГУЧ — в кратких прилагательных после шипящих действительно не пишется буква Ь. Этот ответ также правильный.
НЕНАСТНАЯ (погода) — прилагательное действительно пишется слитно с НЕ, если его можно заменить синонимом без НЕ. Этот ответ тоже правильный.
БАБОЧКА — в сочетании ЧК буква Ь не пишется. Это неверно; в слове "бабочка" буква Ь пишется.
РОЗЫГРЫШ — после русской приставки, оканчивающейся на согласный, пишется буква Ы. Это тоже правильно.
Таким образом, верные ответы — это 1, 2, 3 и 5.
Запишите номера: 1, 2, 3, 5.