Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями У = 2х-х* y = -x
Чтобы найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми \( y = 2x - x^2 \) и \( y = -x \), сначала необходимо определить точки их пересечения.
- Найдем точки пересечения кривых:
Устанавливаем равенство:
\[ 2x - x^2 = -x \]
Перепишем уравнение:
\[ 2x + x = x^2 \] \[ x^2 - 3x = 0 \] \[ x(x - 3) = 0 \]
Таким образом, мы получаем \( x = 0 \) и \( x = 3 \).
- Теперь найдем \( y \) для найденных значений \( x \):
Для \( x = 0 \): \[ y = -0 = 0 \]
Для \( x = 3 \): \[ y = -3 \]
Таким образом, точки пересечения кривых: \( (0, 0) \) и \( (3, -3) \).
- Теперь можно найти площадь, ограниченную этими кривыми от \( x = 0 \) до \( x = 3 \). Для этого необходимо взять интеграл от разности верхней и нижней функций:
В данном случае верхняя функция — это \( y = 2x - x^2 \), а нижняя — \( y = -x \).
\[ \text{Площадь} = \int_0^3 [(2x - x^2) - (-x)] \, dx = \int_0^3 (2x - x^2 + x) \, dx = \int_0^3 (3x - x^2) \, dx \]
- Вычислим интеграл:
\[ \int (3x - x^2) \, dx = \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C \]
Теперь подставим пределы:
\[ \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 \]
Подставляем \( x = 3 \):
\[ \frac{3(3^2)}{2} - \frac{(3^3)}{3} = \frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{27}{3} = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27}{2} - \frac{18}{2} = \frac{9}{2} \]
Теперь подставляем \( x = 0 \) (это будет 0):
- Таким образом, окончательная площадь равна:
\[ \text{Площадь} = \frac{9}{2} \]
Ответ: площадь фигуры равна \( \frac{9}{2} \) или 4.5 квадратных единиц.
