Решить систему х+у=6, 1/х-1/у=1/4

Чтобы решить систему уравнений:

1. \( x + y = 6 \)

2. \( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \)

начнем с первого уравнения. Из него выразим \( y \):

\[ y = 6 - x \]

Теперь подставим \( y \) во второе уравнение:

\[ \frac{1}{x} - \frac{1}{6 - x} = \frac{1}{4} \]

Теперь преобразуем дроби. Для этого найдем общий знаменатель, которым будет \( x(6 - x) \):

\[ \frac{(6 - x) - x}{x(6 - x)} = \frac{1}{4} \]

Упрощаем числитель:

\[ \frac{6 - 2x}{x(6 - x)} = \frac{1}{4} \]

Теперь перепишем уравнение, избавившись от дробей, умножив обе стороны на \( 4x(6 - x) \):

\[ 4(6 - 2x) = x(6 - x) \]

Раскроем скобки:

\[ 24 - 8x = 6x - x^2 \]

Переносим все на одну сторону и упорядочим уравнение:

\[ x^2 - 14x + 24 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100 \]

Так как дискриминант положительный, у нас два решения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 10}{2} \]

Находим корни:

1. \( x_1 = \frac{24}{2} = 12 \)

2. \( x_2 = \frac{4}{2} = 2 \)

Теперь подставим найденные значения \( x \) в выражение для \( y \):

Если \( x = 12 \):

\[ y = 6 - 12 = -6 \]

Если \( x = 2 \):

\[ y = 6 - 2 = 4 \]

Таким образом, у нас есть два решения системы:

1. \( (12, -6) \)

2. \( (2, 4) \)

Эти пары \( (x, y) \) являются решениями данной системы уравнений.