На окружности с центром в точке О случайным образом выбрали точку Х. Какова вероятность того, что эта точка лежит на меньшей дуге СВ, если АВ и CD - диаметры окружности, а угол BOD равен 72°?

Чтобы решить эту задачу, начнём с понимания геометрической ситуации.

1. У нас есть окружность с диаметрами \(AB\) и \(CD\) (то есть они пересекаются в центре \(O\) и делят окружность на четыре равные части).
2. Угол \(BOD\) равен \(72^\circ\). Для понимания задачи мы можем отметить другие углы: угол \(AOB\) равен \(90^\circ\), угол \(AOC\) — \(180^\circ\), угол \(COD\) — \(90^\circ\), и угол \(DOA\) также равен \(90^\circ\).

Теперь, чтобы найти меньшую дугу \(CB\):

• Угол \(BOD\) равен \(72^\circ\), следовательно, углы \(AOB\) и \(DOC\) равны \(90^\circ\).
• Угол \(AOD\) тогда будет равен \(180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\).

Теперь определим, какая из дуг меньше:

• Меньшая дуга \(CB\) будет соотноситься с углом \(BOD\) (то есть \(72^\circ\)), а большая дуга будет соотноситься с оставшимися углами окружности.

Общая сумма углов в круге равна \(360^\circ\). Таким образом, для того чтобы найти меньшую дугу \(CB\), нам нужно разделить отношение угла \(BOD\) к полному углу окружности:

\[ P(CB) = \frac{\text{угол } BOD}{360^\circ} = \frac{72^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{5}. \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка \(X\) будет находиться на меньшей дуге \(CB\), равна \(\frac{1}{5}\) или 20%.