Sin(a+3п)+3cos(-3п/2+a) / 5sin (a-2п

Чтобы решить выражение \(\frac{\sin(a + 3\pi) + 3\cos\left(-\frac{3\pi}{2} + a\right)}{5\sin(a - 2\pi)}\), начнем с упрощения отдельных частей.

1. Упрощение \(\sin(a + 3\pi)\): Используем периодичность синуса: \(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\). Поэтому: \[ \sin(a + 3\pi) = \sin(a + 2\pi + \pi) = \sin(a + \pi) = -\sin(a) \]

2. Упрощение \(3\cos\left(-\frac{3\pi}{2} + a\right)\): Сначала упростим \(-\frac{3\pi}{2}\): \(\cos\left(-\frac{3\pi}{2} + a\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - a\right)\). Поскольку \(\cos\) также периодичен, можем записать: \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = \sin(a)\). Таким образом: \[ 3\cos\left(-\frac{3\pi}{2} + a\right) = 3\sin(a) \]

3. Упрощение \(5\sin(a - 2\pi)\): Подобно предыдущим примерам, слив \(\sin(a - 2\pi)\) дает: \[ \sin(a - 2\pi) = \sin(a) \] И следовательно: \[ 5\sin(a - 2\pi) = 5\sin(a) \]

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение: \[ \frac{-\sin(a) + 3\sin(a)}{5\sin(a)} = \frac{2\sin(a)}{5\sin(a)} \]

Если \(\sin(a) \neq 0\), сокращаем: \[ \frac{2}{5} \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{2}{5}, \quad \text{если } \sin(a) \neq 0. \]