Определить площадь треугольника ABC, если A(2;3;-5);B(0;4;2);C(1;6;-2)

Чтобы определить площадь треугольника ABC с вершинами в точках A(2, 3, -5), B(0, 4, 2) и C(1, 6, -2), можно использовать формулу, основанную на векторном произведении.

Сначала найдем векторы AB и AC:

• Вектор AB = B - A = (0 - 2, 4 - 3, 2 - (-5)) = (-2, 1, 7)
• Вектор AC = C - A = (1 - 2, 6 - 3, -2 - (-5)) = (-1, 3, 3)

Теперь вычислим векторное произведение AB × AC. Векторное произведение в 3D рассчитывается по детерминанту матрицы:

\[ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & 7 \\ -1 & 3 & 3 \end{vmatrix} \]

Выполним вычисления:

\[ \hat{i} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} - \hat{j} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 7 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + \hat{k} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \]

Теперь вычислим каждый из детерминантов:

1. \(\begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3 - 7 \cdot 3) = 3 - 21 = -18\)

2. \(\begin{vmatrix} -2 & 7 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 3 - 7 \cdot -1) = -6 + 7 = 1\)

3. \(\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 3 - 1 \cdot -1) = -6 + 1 = -5\)

Теперь подставим результаты в векторное произведение:

\[ AB \times AC = -18\hat{i} - 1\hat{j} - 5\hat{k} = (-18, -1, -5) \]

Теперь найдем длину этого вектора:

\[ |AB \times AC| = \sqrt{(-18)^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{324 + 1 + 25} = \sqrt{350} = 5\sqrt{14} \]

Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения:

\[ S = \frac{1}{2} |AB \times AC| = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{14} = \frac{5\sqrt{14}}{2} \]

Таким образом, площадь треугольника ABC составляет \(\frac{5\sqrt{14}}{2}\) единиц квадратных.