Определить площадь треугольника ABC, если A(2;3;-5);B(0;4;2);C(1;6;-2)

Чтобы найти площадь треугольника ABC с вершинами A(2; 3; -5), B(0; 4; 2) и C(1; 6; -2), можно использовать формулу, основанную на векторном произведении.

1. Найдём векторы AB и AC: \[ \vec{AB} = B - A = (0 - 2; 4 - 3; 2 + 5) = (-2; 1; 7) \] \[ \vec{AC} = C - A = (1 - 2; 6 - 3; -2 + 5) = (-1; 3; 3) \]

2. Вычислим векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\): \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & 7 \\ -1 & 3 & 3 \end{vmatrix} \]

   Для нахождения детерминанта: \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \hat{i}(1 \cdot 3 - 7 \cdot 3) - \hat{j}(-2 \cdot 3 - 7 \cdot -1) + \hat{k}(-2 \cdot 3 - 1 \cdot -1) \] \[ = \hat{i}(3 - 21) - \hat{j}(-6 + 7) + \hat{k}(-6 + 1) \] \[ = \hat{i}(-18) - \hat{j}(1) - \hat{k}(5) \] \[ = (-18; -1; -5) \]

3. Найдём длину векторного произведения: \[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-18)^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{324 + 1 + 25} = \sqrt{350} = 5\sqrt{14} \]

4. Площадь треугольника: Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения: \[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{14} = \frac{5\sqrt{14}}{2} \]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(\frac{5\sqrt{14}}{2}\).