В ОШ МАТЕМАТИКА ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА школьников Задания муниципального этапа 2024-2025 учебный год 8 класс 1. Два автомобиля, находящиеся на расстоянии 5 км друг от друга, двинулись навстречу друг другу с постоянными скоростями V1 км/ч и Ѵ2 км/ч. Через какое время они опять окажутся на расстоянии 5 км друг от друга? 2. У некоторого трехзначного числа поменяли две последние цифры и сложили полученное число с исходным, получилось четырехзначное число, начинающееся на 173. Какова последняя цифра исходного числа? 3. Электронные часы показывают время от 00:00:00 до 23:59:59. Сколько времени в течение суток на табло часов горят ровно четыре тройки? 4. У звезды АCEBD (см. рисунок) равны углы при вершинах А и В, равны углы при вершинах С и Е, равны отрезки АС и ВЕ. Доказать, что равны отрезки AD и BD. A B E D 5. Трехзначное число abc делится на 37. Доказать, что сумма чисел ьса и саб также делится на 37.
Рада помочь вам с задачами из математики!
Два автомобиля. Пусть скорость первого автомобиля равна \( V_1 \) км/ч, а второго - \( V_2 \) км/ч. Они движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Расстояние между ними изначально составляет 5 км. Обозначим время, через которое они окажутся на расстоянии 5 км друг от друга, как \( t \) часов. В этом случае, в момент времени \( t \) они покроют расстояние \( (V_1 + V_2) \cdot t = 5 \) км, и расстояние снова станет 5 км. Это можно записать как:
\[ (V_1 + V_2) \cdot t = 0 \implies t = \frac{5}{V_1 + V_2} \]
Таким образом, время, через которое они окажутся на расстоянии 5 км друг от друга, будет равно \( t = 0 \) (они не могут разъехаться).
Трехзначное число. Обозначим исходное трехзначное число как \( 100a + 10b + c \), где \( a, b, c \) - его цифры. После замены двух последних цифр оно станет \( 100a + 10c + b \). Сложим два числа:
\[ (100a + 10b + c) + (100a + 10c + b) = 200a + 11b + 11c = 1730 + X, \]
где \( X \) - любая цифра. Поскольку результат должен начинаться с 173, имеем:
\[ 200a + 11(b + c) = 1730. \]
Из этого уравнения видно, что \( b + c \) подбирается так, чтобы получалось четное число. Для нахождения последней цифры \( c \) нужно подставлять значения \( a \) от 1 до 9 и смотреть, какие условия выполняются.
Часы с четырьмя троечками. Часы показывают время от 00:00:00 до 23:59:59. Чтобы найти, когда на табло будут ровно четыре тройки, рассмотрим различные форматы времени. Возможные комбинации:
- 13:33:33
- 03:33:33
- 33:33
- 00:33:33 и так далее.
Записав все возможные варианты, посчитаем количество часов, когда это возможно. Достаточно проверить каждую минуту блока для обнаружения редких случаев.
Теорема о равных отрезках. У нас есть звезда ABECD, где углы при вершинах A и B равны, углы при вершинах C и E равны, и отрезки AC и BE равны. Поскольку треугольники ACD и BDE равны по углам и сторонам, находим что отрезки AD и BD тоже равны, так как обе стороны являются сторонами равных треугольников и углы также равны.
Делимость трехзначного числа на 37. Пусть \( abc \) обозначает число \( 100a + 10b + c \), и оно делится на 37. Если мы изменим порядок для получения следующего числа:
\[ 10b + c \text{ и } 10c + b. \]
Сложим оба числа:
\[ (10b + c) + (10c + b) = 11b + 11c = 11(b + c). \]
Поскольку 11 является постоянным множителем, сумма чисел \( b + c \) также должна делиться на 37.
Надеюсь, эти объяснения помогут вам с решением задач! Если будут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
