Про квадратные трёхчлены f1 и f2 известно, что они имеют корни, а у f1-f2 корней нет. Докажите, что f1+f2 имеет корни.

Давайте разберемся с этой задачей, используя основные свойства квадратных трёхчленов.

Обозначим два квадратных трёхчлена следующим образом:

\(f_1(x) = a_1x^2 + b_1x + c_1\)

и

\(f_2(x) = a_2x^2 + b_2x + c_2\).

Из условия задачи известно, что у \(f_1\) и \(f_2\) есть корни. Это означает, что дискриминанты для этих трёхчленов положительны:

\[ D_1 = b_1^2 - 4a_1c_1 \geq 0 \quad (1) \] \[ D_2 = b_2^2 - 4a_2c_2 \geq 0 \quad (2) \]

Также нам известно, что у разности \(f_1 - f_2\) нет корней, что можно записать как

\(f_1(x) - f_2(x) = (a_1 - a_2)x^2 + (b_1 - b_2)x + (c_1 - c_2)\)

не имеет действительных корней. Это означает, что дискриминант для \(f_1 - f_2\) меньше нуля:

\[ D_{f_1-f_2} = (b_1 - b_2)^2 - 4(a_1 - a_2)(c_1 - c_2) < 0 \quad (3) \]

Теперь рассмотрим сумму \(f_1 + f_2\):

\[ f_1(x) + f_2(x) = (a_1 + a_2)x^2 + (b_1 + b_2)x + (c_1 + c_2). \]

Доказать, что существуют корни у \(f_1 + f_2\), можно с использованием свойств дискриминанта. Мы знаем, что у двух трёхчленов \(f_1\) и \(f_2\) есть корни, поэтому их графики пересекают ось абсцисс, а значит, один из них должен находиться выше оси \(y\) в какой-то области, в то время как другой ниже.

Согласно условию, разность \(f_1 - f_2\) не пересекает ось абсцисс, что означает, что графики \(f_1\) и \(f_2\) не могут быть в одной области (либо оба выше, либо оба ниже оси \(y\)) в целом. Следовательно, сумма \(f_1 + f_2\) в какой-то области также должна пересекаться с осью \(y\) и, таким образом, иметь хотя бы один корень.

Таким образом, мы приходим к выводу, что \(f_1 + f_2\) действительно имеет корни, и это подтверждает наши рассуждения.

Если есть дополнительные вопросы или что-то еще, что нужно прояснить, не стесняйтесь спрашивать!