Определить площадь треугольника ABC, если A(2;3;-5);B(0;4;2);C(1;6;-2)

Чтобы найти площадь треугольника ABC с вершинами A(2, 3, -5), B(0, 4, 2) и C(1, 6, -2), можно использовать формулу для площади треугольника в пространстве через координаты его вершин. Площадь треугольника ABC можно вычислить по следующей формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \| \]

где \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) — это векторы, построенные из координат вершин.

Сначала найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, 4 - 3, 2 + 5) = (-2, 1, 7) \]

\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 2, 6 - 3, -2 + 5) = (-1, 3, 3) \]

Теперь найдем векторное произведение \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\):

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 1 & 7 \\ -1 & 3 & 3 \end{vmatrix} \]

Вычислим это определитель:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i} \begin{vmatrix}1 & 7 \\ 3 & 3\end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix}-2 & 7 \\ -1 & 3\end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix}-2 & 1 \\ -1 & 3\end{vmatrix} \]

Теперь найдем каждый из этих определителей:

1. \(\begin{vmatrix}1 & 7 \\ 3 & 3\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 7 \cdot 3 = 3 - 21 = -18\)
2. \(\begin{vmatrix}-2 & 7 \\ -1 & 3\end{vmatrix} = -2 \cdot 3 - 7 \cdot (-1) = -6 + 7 = 1\)
3. \(\begin{vmatrix}-2 & 1 \\ -1 & 3\end{vmatrix} = -2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) = -6 + 1 = -5\)

Теперь подставим значения обратно в векторное произведение:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-18) \mathbf{i} - (1) \mathbf{j} + (-5) \mathbf{k} = (-18, -1, -5) \]

Теперь найдем длину этого вектора:

\[ \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \| = \sqrt{(-18)^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{324 + 1 + 25} = \sqrt{350} \]

А теперь можем найти площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \| = \frac{1}{2} \sqrt{350} = \frac{\sqrt{350}}{2} = \frac{5\sqrt{14}}{2} \]

Итак, площадь треугольника ABC равна \(\frac{5\sqrt{14}}{2}\) квадратных единиц.