Брусок массой M, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплён к вертикальной стене пружиной жёсткостью k. В брусок попадает горизонтально летящая со скоростью V пуля массой m и застревает в нём. Найдите максимальную деформацию пружины

Для решения задачи, давайте проанализируем, что происходит в системе, когда пуля попадает в брусок.

1. Сначала найдем скорость бруска и пули сразу после столкновения. Это можно сделать, применив закон сохранения импульса.

   Импульс системы до столкновения равен: \( p_{нач} = mv \) где \( m \) — масса пули, а \( v \) — её скорость.

   После столкновения общая масса системы (брусок и пуля) будет \( M + m \), и обозначим скорость системы после столкновения как \( V_f \).

   По закону сохранения импульса: \[ mv = (M + m)V_f \] Отсюда, скорость системы после столкновения будет: \[ V_f = \frac{mv}{M + m} \]

2. Теперь найдем максимальную деформацию пружины. Когда пуля застревает в бруске, он начинает двигаться, и эластичная сила пружины будет действовать против этого движения. В момент максимальной деформации пружины вся кинетическая энергия системы (бруска и пули) превращается в потенциальную энергию упругой деформации пружины.

   Кинетическая энергия системы до деформации: \[ E_{к} = \frac{1}{2}(M + m)V_f^2 \]

   Потенциальная энергия пружины в момент максимальной деформации: \[ E_{п} = \frac{1}{2}kx^2 \] где \( x \) — максимальная деформация пружины.

   Приравниваем эти две энергии: \[ \frac{1}{2}(M + m)V_f^2 = \frac{1}{2}kx^2 \]

   Упрощая, получаем: \[ (M + m)V_f^2 = kx^2 \] Теперь подставим выражение для \( V_f \): \[ (M + m) \left(\frac{mv}{M + m}\right)^2 = kx^2 \] Упрощая это, у нас получится: \[ \frac{m^2v^2}{M + m} = kx^2 \] Переписываем для \( x \): \[ x^2 = \frac{m^2v^2}{k(M + m)} \] Следовательно, находим \( x \): \[ x = \sqrt{\frac{m^2v^2}{k(M + m)}} \]

Таким образом, максимальная деформация пружины \( x \) будет равна: \[ x = \frac{mv}{\sqrt{k(M + m)}} \]

Это и есть искомая максимальная деформация пружины при заданных условиях.