Найдите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если высота ее боковой грани равна 6 см, а периметр основания - 20 см.
Для нахождения площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно сначала найти площадь основания и площадь боковых граней.
Площадь основания: Поскольку основание пирамиды является правильным четырехугольником (квадратом), давайте обозначим длину его стороны как \( a \). Периметр основания равен \( 4a \). Мы знаем, что периметр равен 20 см, следовательно: \[ 4a = 20 \implies a = \frac{20}{4} = 5 \text{ см}. \] Площадь основания \( S_{осн} \) квадрата рассчитывается по формуле: \[ S_{осн} = a^2 = 5^2 = 25 \text{ см}^2. \]
Площадь боковых граней: Правильная четырехугольная пирамида имеет 4 треугольные боковые грани. Высота боковой грани равна 6 см. Теперь рассмотрим одну боковую грань, которая является равнобедренным треугольником, у которого основание равно стороне квадрата, то есть 5 см.
Для вычисления площади одного бокового треугольника, используем формулу: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h, \] где \( h \) - высота треугольника. В данном случае, \( a = 5 \text{ см} \) и \( h = 6 \text{ см} \): \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}^2. \]
Поскольку у нас 4 боковые грани: \[ S_{боковые} = 4 \cdot S_{бок} = 4 \cdot 15 = 60 \text{ см}^2. \]
Площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности пирамиды \( S_{пол} \) равна сумме площади основания и площади боковых граней: \[ S_{пол} = S_{осн} + S_{боковые} = 25 + 60 = 85 \text{ см}^2. \]
Таким образом, площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет \( 85 \text{ см}^2 \).
