2. Несколько полян, северян и древлян собрались в хоровод. Оказалось, что имеется ровно 35 полян и ровно 40 древлян, рядом с каждым из которых стоит хотя бы один северянин. Докажите, что рядом с кем-то стоит два северянина.
Давайте рассмотрим задачу. У нас есть 35 полян, 40 древлян и хотя бы один северянин рядом с каждой поляной и каждым древлянином. Наша цель – доказать, что рядом с кем-то стоит два северянина.
Предположим, что каждый северянин стоит рядом с только одной поляной или только одним древлянином. В таком случае, давайте подсчитаем минимальное количество северян, которое нам нужно для того, чтобы удовлетворить данное условие.
Пусть \(s\) – количество северян. Каждая поляна и каждый древлянин находится в контакте с хотя бы одним северянином. Если каждый северянин соседствует только с одной поляной или только с одним древлянином, то мы можем получить максимум \(s\) контактов.
Таким образом, у нас есть следующие условия:
- 35 полян
- 40 древлян
Если \(s\) – количество северян, и при этом каждый из них контактирует только с одной из 75 объектов (35 полян + 40 древлян), то количество контактов не может превышать \(s\). Но у нас есть 35 полян и 40 древлян, что в сумме составляет 75 объектов, а значит, чтобы удовлетворить условие о наличии хотя бы одного северянина рядом с каждым объектом, нам нужно как минимум 75 северян, если каждый из них контактирует только с одним. Но такое число будет уже превышать количество северян, поэтому это предположение неверно.
Поскольку мы показали, что при любой конфигурации хотя бы одного северянина рядом с каждой поляной и древлянином с числом полян (35) и древлян (40) мы не можем избежать ситуации, когда хотя бы один северянин будет находиться рядом с двумя или более объектов.
Следовательно, мы можем заключить, что рядом с кем-то действительно стоит два северянина. Это логическое обоснование свидетельствует о том, что такая ситуация неизбежна.
