Дана тетраэдра DABC. Точки Е, S, G, К середины рёбер AD, DB, BC, АС, АВ=10, CD=16. Докажи, что точки Е, Ѕ, G, К являются вершинами параллелограмма и вычисли перимктр…

Давайте рассмотрим данный тетраэдр \( DABC \) и точки \( E, S, G, K \), которые являются серединами рёбер \( AD, DB, BC, AC \) соответственно. Чтобы доказать, что эти точки образуют параллелограмм, мы можем использовать свойства векторов и середины отрезков.

1. Определим векторы:

   • Обозначим точки:
     • \( A(0, 0, 0) \)
     • \( B(10, 0, 0) \) (напоминаю, что \( AB = 10 \))
     • \( C(5, 5\sqrt{3}, 0) \) (можем взять равносторонний треугольник, высота которого равна \( 5 \sqrt{3} \))
     • \( D(5, \frac{16}{3}, h) \) (поскольку \( CD = 16 \))

2. Итак, координаты точек:

   • \( E \) - середина отрезка \( AD \): \[ E = \left( \frac{0 + 5}{2}, \frac{0 + \frac{16}{3}}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( 2.5, \frac{8}{3}, \frac{h}{2} \right) \]
   • \( S \) - середина отрезка \( DB \): \[ S = \left( \frac{5 + 10}{2}, \frac{\frac{16}{3} + 0}{2}, \frac{h + 0}{2} \right) = \left( 7.5, \frac{8}{3}, \frac{h}{2} \right) \]
   • \( G \) - середина отрезка \( BC \): \[ G = \left( \frac{10 + 5}{2}, \frac{0 + 5\sqrt{3}}{2}, 0 \right) = \left( 7.5, \frac{5\sqrt{3}}{2}, 0 \right) \]
   • \( K \) - середина отрезка \( AC \): \[ K = \left( \frac{0 + 5}{2}, \frac{0 + 5\sqrt{3}}{2}, 0 \right) = \left( 2.5, \frac{5\sqrt{3}}{2}, 0 \right) \]

3. Теперь проверим, являются ли стороны \( EG \) и \( SK \) параллельными:

   • Вектор \( EG \): \[ EG = G - E = \left( 7.5 - 2.5, \frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{8}{3}, 0 - \frac{h}{2} \right) = \left( 5, \frac{15\sqrt{3} - 16}{6}, -\frac{h}{2} \right) \]
   • Вектор \( SK \): \[ SK = K - S = \left( 2.5 - 7.5, \frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{8}{3}, 0 - \frac{h}{2} \right) = \left( -5, \frac{15\sqrt{3} - 16}{6}, -\frac{h}{2} \right) \]

4. Сравниваем векторы: Векторы \( EG \) и \( SK \) пропорциональны: если умножить \( EG \) на -1, получим \( SK \), а значит, \( EG \parallel SK \).

5. Аналогично для векторов \( ES \) и \( GK \):

   • Вектор \( ES \): \[ ES = S - E = \left( 7.5 - 2.5, \frac{8}{3} - \frac{8}{3}, \frac{h}{2} - \frac{h}{2} \right) = \left( 5, 0, 0 \right) \]
   • Вектор \( GK \): \[ GK = K - G = \left( 2.5 - 7.5, \frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{2}, 0 - 0 \right) = \left( -5, 0, 0 \right) \]

6. Заключение: Поскольку \((EG \parallel SK)\) и \((ES \parallel GK)\), точки \( E, S, G, K \) образуют параллелограмм.

7. Вычисление периметра параллелограмма: Периметр \( P \) параллелограмма равен: \[ P = 2( |EG| + |ES| ) \] Найдём длины:

   • Длина \( |EG| = 5 \).
   • Длина \( |ES| = 5 \). Следовательно: \[ P = 2(5 + 5) = 20. \]

Таким образом, точки \( E, S, G, K \) представляют собой вершины параллелограмма, а периметр этого параллелограмма равен \( 20 \).