найди сумму 9х² + у² если 3х-у=5 , ху=1
Чтобы найти сумму \( 9x^2 + y^2 \) при данных условиях \( 3x - y = 5 \) и \( xy = 1 \), следуем следующим шагам:
Решим первое уравнение относительно \( y \): \[ y = 3x - 5 \]
Подставим выражение \( y \) во второе уравнение \( xy = 1 \): \[ x(3x - 5) = 1 \] Это уравнение можно переписать как: \[ 3x^2 - 5x - 1 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 3 \), \( b = -5 \), \( c = -1 \): \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 12}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6} \]
Теперь найдем \( y \) для каждого корня \( x \): Подставим \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{37}}{6} \): \[ y_1 = 3\left(\frac{5 + \sqrt{37}}{6}\right) - 5 = \frac{15 + 3\sqrt{37}}{6} - \frac{30}{6} = \frac{-15 + 3\sqrt{37}}{6} \] Подставим \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{37}}{6} \): \[ y_2 = 3\left(\frac{5 - \sqrt{37}}{6}\right) - 5 = \frac{15 - 3\sqrt{37}}{6} - \frac{30}{6} = \frac{-15 - 3\sqrt{37}}{6} \]
Теперь вычислим \( 9x^2 + y^2 \): Для \( x_1 \) и \( y_1 \): \[ 9x_1^2 = 9\left(\frac{5 + \sqrt{37}}{6}\right)^2 = 9 \cdot \frac{(5 + \sqrt{37})^2}{36} = \frac{(5 + \sqrt{37})^2}{4} \] Раскроем скобки: \[ (5 + \sqrt{37})^2 = 25 + 10\sqrt{37} + 37 = 62 + 10\sqrt{37} \] Таким образом: \[ 9x_1^2 = \frac{62 + 10\sqrt{37}}{4} \]
Вычислим \( y_1^2 \): \[ y_1^2 = \left(\frac{-15 + 3\sqrt{37}}{6}\right)^2 = \frac{(-15 + 3\sqrt{37})^2}{36} = \frac{225 - 90\sqrt{37} + 27}{36} = \frac{252 - 90\sqrt{37}}{36} \]
Теперь найдём сумму: \[ 9x_1^2 + y_1^2 = \frac{62 + 10\sqrt{37}}{4} + \frac{252 - 90\sqrt{37}}{36} \] Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель: \[ = \frac{(62 + 10\sqrt{37}) \cdot 9}{36} + \frac{252 - 90\sqrt{37}}{36} \] \[ = \frac{558 + 90\sqrt{37} + 252 - 90\sqrt{37}}{36} = \frac{810}{36} = 22.5 \]
Таким образом, сумма \( 9x^2 + y^2 \) равна \( 22.5 \).
