В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Чтобы найти вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза при трижды броске симметричной монеты, мы можем использовать биномиальное распределение. В этом случае:

• n (количество испытаний) = 3 (три броска),
• k (количество успешных исходов, то есть выпадений орла) = 2,
• p (вероятность успеха в одном испытании, то есть вероятность выпадения орла) = 0.5, поскольку монета симметрична.

Формула для вычисления вероятности по биномиальному распределению выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь подставим значения:

1. Рассчитаем биномиальный коэффициент \(C(3, 2)\):

\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(1)} = 3 \]

2. Теперь подставим все в формулу вероятности:

\[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot (0.5)^2 \cdot (1 - 0.5)^{3 - 2} = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^1 \]

3. Упрощаем это:

\[ P(X = 2) = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5) = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 = 3 \cdot 0.125 = 0.375 \]

Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза при трёх бросках симметричной монеты, равна 0.375 или 37.5%.