Даны векторы а=(1;0;2),b=(0;1;1),c=(2;-1;4),d=(3;-3;4). Доказать,что векторы a,b,c образуют базис и найти разложение вектора d по этому базису.
Чтобы доказать, что векторы \( \mathbf{a} = (1; 0; 2) \), \( \mathbf{b} = (0; 1; 1) \) и \( \mathbf{c} = (2; -1; 4) \) образуют базис, необходимо показать, что они линейно независимы. Векторы линейно независимы, если их координатная матрица имеет полный ранг, то есть ранг матрицы равен количеству векторов.
Составим матрицу из векторов \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \):
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \]
Теперь найдем ранг этой матрицы, используя метод Гаусса (приведение к ступенчатому виду).
- Первую строку оставим без изменений:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \]
- Из третьей строки вычтем 2 первую строку:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]
- Теперь вычтем вторую строку из третьей:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Теперь мы видим, что в приведенной матрице три ненулевые строки, что означает, что ранг матрицы равен 3. Поскольку количество векторов также 3, то векторы \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \) являются линейно независимыми и, следовательно, образуют базис.
Теперь найдем разложение вектора \( \mathbf{d} = (3; -3; 4) \) по этому базису. Мы ищем такие коэффициенты \( x_1, x_2, x_3 \), чтобы:
\[ x_1 \mathbf{a} + x_2 \mathbf{b} + x_3 \mathbf{c} = \mathbf{d} \]
Это можно записать как систему уравнений:
\[ x_1(1; 0; 2) + x_2(0; 1; 1) + x_3(2; -1; 4) = (3; -3; 4) \]
Разложим это по координатам:
- \( x_1 + 2x_3 = 3 \)
- \( x_2 - x_3 = -3 \)
- \( 2x_1 + x_2 + 4x_3 = 4 \)
Теперь решим эту систему уравнений. Начнем с первого и второго уравнений.
Из второго уравнения выразим \( x_2 \):
\[ x_2 = -3 + x_3 \]
Подставляем это значение в первое уравнение:
\[ x_1 + 2x_3 = 3 \]
Теперь подставим \( x_2 \) в третье уравнение:
\[ 2x_1 + (-3 + x_3) + 4x_3 = 4 \]
Это упрощается до:
\[ 2x_1 + 5x_3 - 3 = 4 \\ 2x_1 + 5x_3 = 7 \\ x_1 = \frac{7 - 5x_3}{2} \]
Теперь подставим это в первое уравнение:
\[ \frac{7 - 5x_3}{2} + 2x_3 = 3 \]
Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 7 - 5x_3 + 4x_3 = 6 \\ 7 - x_3 = 6 \\ x_3 = 1 \]
Теперь подставим значение \( x_3 \) обратно, чтобы найти \( x_1 \) и \( x_2 \):
\[ x_1 = \frac{7 - 5(1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = -3 + x_3 = -3 + 1 = -2 \]
Таким образом, разложение вектора \( \mathbf{d} \) по базису \( \{ \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \} \) будет:
\[ \mathbf{d} = 1 \cdot \mathbf{a} - 2 \cdot \mathbf{b} + 1 \cdot \mathbf{c} \]
Ответ: Векторы \( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \) образуют базис, а разложение вектора \( \mathbf{d} \) по этому базису: \( \mathbf{d} = 1\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + 1\mathbf{c} \).
