1. На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают с доски и на его место записывают произ- ведение его цифр, увеличенное на 12. Какое число окажется на доске через час? 2. Компьютер каждую секунду выполняет две операции: умножает число на 2, затем из результата вычитает 123. Найдите начальное число так, чтобы через пять минут на экране появилось такое же число. 3. На столе яблок на 4 меньше, чем яблок и груш вместе, а груш на 7 меньше, чем яблок и груш вместе. Сколько всего фруктов на столе? Сколько яблок? А груш?

1. Начнем с первого вопроса. У нас есть число 23. Сначала найдем произведение его цифр: 2 * 3 = 6. Затем прибавим 12: 6 + 12 = 18. Значит, через одну минуту на доске будет 18.

Теперь продолжим процесс.

• С 18: цифры 1 и 8, произведение: 1 * 8 = 8, 8 + 12 = 20.
• С 20: цифры 2 и 0, произведение: 2 * 0 = 0, 0 + 12 = 12.
• С 12: цифры 1 и 2, произведение: 1 * 2 = 2, 2 + 12 = 14.
• С 14: цифры 1 и 4, произведение: 1 * 4 = 4, 4 + 12 = 16.
• С 16: цифры 1 и 6, произведение: 1 * 6 = 6, 6 + 12 = 18 (заметим, что это возвращает нас к 18).

Теперь у нас есть цикл: 18 → 20 → 12 → 14 → 16. Это происходит суть до бесконечности. Через 60 минут мы можем определить количество проходящих циклов.

Таким образом, конечное число на доске через час остается 18.

2. Перейдем ко второму вопросу. Компьютер выполняет две операции каждую секунду: умножает число на 2 и затем вычитает 123. Мы хотим знать начальное число (обозначим его x), чтобы через 5 минут (300 секунд) получить такое же число.

Итак, каждую секунду новое значение будет вычисляться по формуле: y(n) = 2 * y(n-1) - 123.

Через 300 секунд у нас будет: y(0) = x, y(1) = 2x - 123, и так далее.

Учитывая формулу, мы можем заметить, что каждая операция представляет собой очень сложное уравнение, но в конечном итоге мы можем решить его через рекурсию. Если мы рассмотрим окончательный результат, то: y(300) = 2^(300) * x - k, где k — это сумма всех вычитаний.

За 300 секунд будет вычтено 300 * 123. Таким образом: y(300) = 2^(300) * x - 36900.

Чтобы получить то же самое значение y(300) = x, мы можем приравнять: 2^(300) * x - 36900 = x. Решая это уравнение, мы можем выразить x.

x * (2^(300) - 1) = 36900. Следовательно, x = 36900 / (2^(300) - 1).

Этот результат будет очень близким к нулю, что показывает, что начальное значение x должно быть достаточно маленьким.

3. Рассмотрим третий вопрос. Нам даны условия о числе яблок (Я) и груш (Г):

• Яблок на 4 меньше, чем яблок и груш вместе: Я = (Я + Г) - 4.
• Груш на 7 меньше, чем яблок и груш вместе: Г = (Я + Г) - 7.

Перепишем уравнения:

1. Я + 4 = Я + Г → Г = 4.
2. Г + 7 = Я + Г → Я = 7.

Теперь можем подставить, чтобы найти общее количество фруктов: Общее количество фруктов = Я + Г = 7 + 4 = 11.

Так что, на столе 11 фруктов: 7 яблок и 4 груши.