В коробке лежат синие красные и зелёные карандаши. Всего из 20 штук. Синих карандашей в 8 раз больше чем зелёных а красных меньше чем синих. Сколько в коробке красных карандашей?

Обозначим количество зелёных карандашей как \( z \). Поскольку синих карандашей в 8 раз больше, то их количество будет \( 8z \).

Обозначим количество красных карандашей как \( r \). По условию, количество красных карандашей меньше, чем количество синих, т.е. \( r < 8z \).

Суммарное количество карандашей равно 20, то есть:

\[ z + 8z + r = 20 \]

Это упростится до:

\[ 9z + r = 20 \]

Теперь выразим \( r \):

\[ r = 20 - 9z \]

Согласно условию, \( r < 8z \), тогда подставим выражение для \( r \):

\[ 20 - 9z < 8z \]

Упрощаем это неравенство:

\[ 20 < 17z \]

\[ z > \frac{20}{17} \]

Поскольку \( z \) должно быть целым числом, минимальное значение \( z \) равно 2 (поскольку \( \frac{20}{17} \approx 1.176 \), и следующая целая единица) – проверим это значение.

Если \( z = 2 \), то количество синих карандашей:

\[ 8z = 8 \times 2 = 16 \]

Количество красных карандашей:

\[ r = 20 - 9z = 20 - 9 \times 2 = 20 - 18 = 2 \]

Проверим условия: количество красных карандашей \( r = 2 \), меньше чем количество синих \( 8z = 16 \), и при этом:

\[ 2 < 16 \text{ (выполняется)}. \]

Теперь проверим, возможно ли большее значение \( z \).

Если \( z = 3 \), то:

\[ 8z = 24 \text{ (больше 20, отсекаем)}. \]

Следовательно, большее значение \( z \) не может удовлетворять условиям. То есть единственным подходящим решением является:

Количество красных карандашей \( r = 2 \).

Таким образом, в коробке 2 красных карандаша.