Дано А (12; - 4) В (-8 ; - 6) С (0;9) Найти: а) координаты вектора ВС б) длину вектора АВ в) координаты середины отрезка АС г) периметр треугольника АВС д) длину медианы ВМ
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
а) Найдем координаты вектора \( \vec{BC} \)
Координаты вектора \( \vec{BC} \) можно найти, вычитая координаты точки \( B \) из координат точки \( C \):
\[ \vec{BC} = C - B = (0 - (-8), 9 - (-6)) = (0 + 8, 9 + 6) = (8, 15) \]
б) Найдем длину вектора \( \vec{AB} \)
Длина вектора \( \vec{AB} \) вычисляется по формуле:
\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
где \( A(12, -4) \) и \( B(-8, -6) \).
Подставляя значения, получаем:
\[ |\vec{AB}| = \sqrt{((-8) - 12)^2 + ((-6) - (-4))^2} = \sqrt{(-20)^2 + (-6 + 4)^2} = \sqrt{400 + 4} = \sqrt{404} \approx 20.1 \]
в) Найдем координаты середины отрезка \( AC \)
Координаты середины отрезка \( AC \) вычисляются следующим образом:
\[ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{12 + 0}{2}, \frac{-4 + 9}{2} \right) = \left( 6, 2.5 \right) \]
г) Найдем периметр треугольника \( ABC \)
Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:
\[ P = |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CA}| \]
Сначала найдем длину вектора \( \vec{CA} \):
\[ |\vec{CA}| = \sqrt{(12 - 0)^2 + (-4 - 9)^2} = \sqrt{(12)^2 + (-13)^2} = \sqrt{144 + 169} = \sqrt{313} \approx 17.7 \]
Теперь вычислим длину вектора \( \vec{BC} \), которую мы уже нашли, и её длина:
\[ |\vec{BC}| = \sqrt{(8)^2 + (15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \]
Теперь можно найти периметр:
\[ P = \sqrt{404} + 17 + \sqrt{313} \approx 20.1 + 17 + 17.7 \approx 54.8 \]
д) Найдем длину медианы \( BM \)
Длина медианы \( BM \) вычисляется по формуле:
\[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2} \]
Мы уже нашли длины \( AB \) и \( BC \). Теперь найдем длину \( AC \):
\[ |\vec{AC}| = \sqrt{(12 - 0)^2 + (-4 - 9)^2} = \sqrt{(12)^2 + (-13)^2} = \sqrt{144 + 169} = \sqrt{313} \approx 17.7 \]
Теперь подставим данные в формулу медианы:
\[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2(20.1^2) + 2(17)^2 - (17.7)^2} \]
Считаем:
\[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2(404.01) + 2(289) - 313} = \frac{1}{2} \sqrt{808.02 + 578 - 313} = \frac{1}{2} \sqrt{1073.02} \approx \frac{1}{2} \times 32.8 \approx 16.4 \]
Таким образом, мы нашли все необходимые характеристики треугольника. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!
